is pi 3,14

[tilborghs]

wat is er mis met het bewijs dat pi niet 3,14 is?

bwijs pi = 4

(109.42 KiB) 155 keer gedownload

[tempelier]

Het verhaal klopt.
 
Het bewijst echter alleen dat pi<4 is.
 
Dit komt omdat de som van de buiten lijnen niet convergeert naar de omtrek van de cirkel.
Er is meer nodig voor zo'n convergentie dan dat de gebroken lijn er op het oog op gaat lijken.
 
PS.
Er zijn hele rijen van soortgelijke aardigheidjes.
De bekendste is denk ik om via Pythagoras te bewijzen dat 3+4=5.

[tilborghs]

dag tempelier. 
dat pi < 4  is al duidelijk meteen aan het begin (startplaatje. 
het vierkant kruipt steeds dichter tegen de cirkel aan, er komen immers steeds meer raakpunten. intuitief gaat het vierkant steeds meer op een (in eerste instantie) geribbelde cirkel lijken en zou het 'bewijs' kunnen kloppen. Waar zit nu de fundamentele denkfout.....

[TD]

intuitief gaat het vierkant steeds meer op een (in eerste instantie) geribbelde cirkel lijken

 

Het is maar wat je precies bedoelt met lijken. De oppervlakte van de veelhoek (het vierkant na een aantal stappen) zal steeds dichter bij de oppervlakte van de cirkel komen, maar dat wil niet zeggen dat de rand (en daarmee samenhangend: de omtrek) van die veelhoek ook goed op de rand (en daarmee samenhangend: de omtrek) van de cirkel begint te lijken. Dat is niet zo en het is dus ook geen goede benadering voor de omtrek van de cirkel.

 

dat pi < 4 is al duidelijk meteen aan het begin

Als je dat duidelijk vindt, samen met de observatie dat elke stap de omtrek van de veelhoek niet verandert, dan moet je ook al aanvoelen dat de randen die na elke stap onstaan (en constante omtrek hebben) dus geen goede benaderingen kunnen vormen voor de rand van de cirkel.

[klazon]

De omtrek van het vierkant waar het mee begint bestaat uit horizontale en vertikale lijnstukken. In het eerste plaatje is al duidelijk dat de omtrek van het vierkant groter is dan de omtrek van de cirkel.
Als het vierkant samenschrompelt tot een veelhoek bestaat het nog steeds uit horizontale en vertikale lijnstukken. De som van de horizontale delen is steeds gelijk aan het horizontale deel van het vierkant, hetzelfde geldt voor de vertikale delen. De omtrek verandert dus niet, ondanks het feit dat de veelhoek steeds dichter tegen de cirkel aan komt te liggen.

[tempelier]

dag tempelier. 
dat pi < 4  is al duidelijk meteen aan het begin (startplaatje. 
het vierkant kruipt steeds dichter tegen de cirkel aan, er komen immers steeds meer raakpunten. intuitief gaat het vierkant steeds meer op een (in eerste instantie) geribbelde cirkel lijken en zou het 'bewijs' kunnen kloppen. Waar zit nu de fundamentele denkfout.....

Je intuïtie bedriegt je dus.
 
Niet voor niets moet een bewijs wiskundig onderbouwd zijn.
Meestal komt er uit wat je verwacht bij dit soort limieten maar dit is nu net een voorbeeld waar het niet zo is.

[tilborghs]

het is me duidelijk dat pi niet 4 kan zijn. maar feit is dat het oorspronkelijke vierkant steeds dichter naar de cirkel toe kruipt. het 'bewijs' kan alleen dan niet kloppen als het iteratieve proces al na enkele stappen stopt. de vraag is echter wanneer dat al gebeurt?

[klazon]

Er is toch al uitgelegd dat het "bewijs" niet kan kloppen? De omtrek van de trapjesfiguur bestaat uit horizontale en verticale lijnstukken die samen evenlang zijn als de omtrek van het vierkant. En dat blijft zo, hoe lang je er ook mee doorgaat. Dat de trapjesfiguur steeds dichter op de cirkel komt te liggen geeft alleen maar aan dat de oppervlakte steeds meer die van de cirkel benadert, maar de omtrek verandert niet.

[tilborghs]

ik snap dit, er komt als het ware een steeds meer gekartelde cirkel om de cirkel heel te liggen.
het is van tweeën een:  of de gekartelde cirkel wordt steeds meer de cirkels zelf. of het proces moet ergens stoppen. ooit zal het kartelen moeten ophouden. maar? 

[klazon]

Nee, dat kartelen houdt nooit op, want dat is juist de essentie van het "bewijs", het blijft doorgaan met horizontale en verticale lijnstukjes.

[tilborghs]

kun je  dat dan wel bewijzen?????

[tempelier]

kun je  dat dan wel bewijzen?????

Dat is niet moeilijk.
 
Het is gemakkelijk in te zien dat een kartel altijd weer te verdelen is in twee kleinere kartels.
(maak maar een schetsje)
 
PS.
 
Je maakt nog een andere fout, die vaak in dit soort "bewijzen" zit.
 
Uit:
 

\(\lim_{x\to a}h(x)=L\)

 
volgt niet dat h(a)=L

[klazon]

kun je  dat dan wel bewijzen?????

Dat hoef ik niet te bewijzen, want dat laten ze zien in het document waar je zelf mee begon. Steeds kleinere kartels, maar ook nog steeds horizontale en verticale lijnstukjes. Je hoeft helemaal geen kennis van hogere wiskunde te hebben om dat in te zien.

[PAAC]

Wat mij opvalt is dat het woordje "Square" bij de opvolgende plaatjes ineens niet meer aanwezig is...

[klazon]

Klopt, want bij de volgende plaatjes is het geen square meer.