Vraagstuk i.v.m afgeleiden

[MathBoy]

Zou iemand mij kunnen helpen met het volgende vraagstuk in het hoofdstuk afgeleiden:
 
De wijzers van de klok van een belfort zijn respectievelijk 9 en 12 dm lang. Met welke snelheid naderen de uiteinden van de wijzers elkaar (of verwijderen ze zich van elkaar) op het ogenblik dat het 2 uur is? En als het 8 uur is?
 
Ik heb al 2 uur zitten proberen maar ik kan antwoord maar niet vinden. In de oplossingen achteraan in mijn boek staan de antwoorden en deze zouden moeten zijn:
- om 2 uur: 8,4 cm/min naderen
- om 8 uur: 8,3 cm/min (verwijderen)
 
 

[tempelier]

Ik weet niet wat je geprobeerd hebt.
 
Ik zou het zo proberen:
 
1. Bepaal waar de wijzers staan op het gevraagde tijdstip.
2. Bepaal dan de snelheden en richtingsvectoren van de naald punten.
 
Die zijn bepalend hoe snel ze elkaar naderen.
 
(bedenk dat de richtingsvector loodrecht op de wijzer staat.)

[EvilBro]

- om 8 uur: 8,3 cm/min (verwijderen)

Ik betwijfel de juistheid van dit antwoord.

De stappen die ik zou doen zijn trouwens:
1. Stel de formules op voor de (x,y) van het uiteinde van de grote wijzer.
2. Stel de formules op voor de (x,y) van het uiteinde van de kleine wijzer.
3. Bepaal met de bovenstaande formules de formule voor de afstand tussen de uiteinden.
4. Differentieer de afstandformule naar de tijd.
5. Vul de gewenste tijdstippen in.

[Michel Uphoff]

Het tweede antwoord lijkt ook mij fout. Ik kom op ongeveer 4,9 cm/minuut verwijdering uit.

[MathBoy]

Tempelier, ik krijg zelf maar 5 uur wiskunde en ben dus niet zo vertrouwd met vectoren. 
 
De formules opstellen voor de kleine en grote wijzer lukt me ook niet zo goed, ik weet namelijk echt niet hoe ik moet beginnen... Het enige dat ik wel weet is dat er bij 2 uur een hoek van 60 graden zal gevormd worden en dat de grote wijzer een afstand zal afleggen van 6 graden per minuut en de kleine wijzer van 0,5 graden per minuut. Of ben ik hier niets mee?
 
Alvast bedankt aan iedereen die me wil helpen!

[MathBoy]

Ik heb ook al gevonden dat de afstand tussen de 2 wijzers op 1 moment te vinden is met de cosinusformule, hierbij zou de afstand (wanneer het 2uur is) tussen de wijzers 3/√2 moeten zijn.  Ik heb dan enkele berekeningen gemaakt om te zien wat de afstand tussen de wijzers 1 seconde later zou zijn (ik wil het antwoord dus benaderen) en ik heb dan het verschil genomen en de gemiddelde snelheid berekend, maar dan kom ik uit op 1,76 cm/min. Niet het juiste dus, is mijn beredenering juist en mijn berekening fout of zijn ze gewoon beiden fout?

[EvilBro]

Je staat voor een analoge klok. Je ziet nu dat de kleine wijzer elke 12 uur een volledige ronde maakt. Er worden dus 360 graden elke 720 minuten gemaakt, ofwel 0.5 graad per minuut. De grote wijzer doet 360 graden elk uur, ofwel 6 graden per minuut. De grote wijzer is dus sneller dan de kleine wijzer. De cijfers van de klok staan stil.
Stel je nu voor dat je op de kleine wijzer gaat staan. Wat zie je nu? De kleine wijzer staat stil (ten opzicht van jou). Je ziet verder de cijfers van de klok met een snelheid van -0.5 graad per minuut voorbij gaan. De grote wijzer heeft nu een snelheid van 6 - 0.5 = 5.5 graad per minuut. De cijfers van de klok spelen geen rol voor de afstand tussen de uiteinde van de wijzers. Die kunnen we dus gewoon negeren. Het vraagstuk is nu dus gereduceerd tot een wijzer die rondgaat.

Hoe is de hoek bepaald afhankelijk van de tijd. Stel dat we t=0 gelijk stellen aan 12 uur (de wijzers op elkaar). Voor de hoek geldt dan:

\(hoek = 5.5 \cdot t\)

Ofwel in radialen:

\(\theta(t) = \frac{11 \cdot \pi}{360} \cdot t\)

De afstand tussen de wijzers in centimeters is (via de cosinusregel):

\(d(t) = \sqrt{120^2 + 90^2 - 2 \cdot 120 \cdot 90 \cdot \cos(\theta(t))} = \sqrt{22500 - 21600 \cdot \cos(\frac{11 \cdot \pi}{360} \cdot t)}\)

Stel dat we deze formule nu gaan gebruiken om het antwoord te benaderen (wanneer het 2 uur is). 2 uur is 120 minuten na 12 uur, dus t = 120. Invullen:

\(d(120) = \sqrt{22500 - 21600 \cdot \cos(\frac{11 \cdot \pi}{360} \cdot 120)} \approx 108.17\)

Een second is 1/60 minuut. Een minuut later is de afstand:

\(d(120 + (1/60)) = \sqrt{22500 - 21600 \cdot \cos(\frac{11 \cdot \pi}{360} \cdot (120 + (1/60)))} \approx 108.03\)

In de ene verstreken seconde is het verschil in afstand dus:

\(108.03 - 108.17 = -0.14\)

Dit is alleen de snelheid per seconde en we willen de snelheid per minuut:

\(60 \cdot -0.14 = -8.4\)

Als je de formule voor de afstand differentieert naar de tijd dan krijg je het exacte antwoord ipv een benadering.

Dit hele verhaal kun je natuurlijk ook doen voor als de klok op 8 uur staat.

[MathBoy]

Bedankt EvilBro, ik snap je uitleg helemaal! Ik heb dan ook geprobeerd om de afgeleide snelheidsfunctie te berekenen en ik heb dit gevonden: 
 
d'(t)= 1/2 * (22500-21600 * cos(5,5t) )^-1/2 * 21600* sin(5,5t)
Ik bekom dan:
d'(120) = -86,47
d'(480) = 51,26
Deze antwoorden staan in cm/minuut, dus ik vermoed dat mijn antwoorden niet kloppen, maar de cijfers beginnen al wel op het antwoord te lijken...
Wat heb ik fout gedaan?

[Michel Uphoff]

Bij de 2 uur situatie kom ik op -8,3 cm/minuut ipv -8,4
Bij de 8 uur situatie op +4,9 cm/minuut (opgegeven oplossing is m.i. fout).
 
Jouw getallen liggen ruwweg een factor 10 hoger, mogelijk ergens een magnitude fout?

[EvilBro]

De afgeleide van de cos(x) is enkel gelijk aan -sin(x) als x in radialen is. Jij doet x in graden. Je hebt dus eigenlijk een verborgen constante (cos(a * x)).

[MathBoy]

Jaaa! Ik heb het!
 
Mijn afgeleide moest zijn: d'(t) = 1/2 * (22500-21600* cos((11*pi*t)/360))^-1/2 * ((237600*pi)/360) * sin((11*pi*t)/360)
Nu kloppen mijn antwoorden wel. (De antwoorden in het boek dat ik gebruik zijn dus niet correct.)
 
Heel erg bedankt aan iedereen dat me heeft willen helpen!