Bewijs voor de cirkelvormige, elliptische, parabolische of hyperbolische baan

[JarnoG]

Hallo, 
 
Voor mijn eindwerk wiskunde over de beweging van hemellichamen, beschrijf ik vier mogelijke banen dat een hemellichaam rond een ander kan afleggen. Dit zijn de cirkel, de ellips, de parabool en de hyperbool. 
Mij werd de vraag gesteld om te bewijzen dat een hemellichaam deze banen kan afleggen. Dit bewijs zou moeten beginnen uit de formules van de gravitatie-energie E_g= GMm/r en de kinetische energie E_k= (1/2)mv², en zou ten minste één van volgende moeten krijgen:
 
 - cirkelvormige baan met als uitkomst: (x - x₁)² + (y - y₁)² = r²
 - parabolische baan met als uitkomst: y² = 2px 
 - elliptische baan met als uitkomst: x²/a² + y²/b² = 1
 - hyperbolische baan met als uitkomst: x²/a² - y²/b² = 1  
 
Kan iemand mij hierbij helpen of mij op gang brengen? 
 
Alvast bedankt! 
Jarno

[MathBoy]

Deze hebben volgens mij te maken met de wetten van Kepler. Hier vind je meer informatie: https://nl.wikipedia.org/wiki/Wetten_van_Kepler
De formules die je mag gebruiken lijken er wel in te zitten denk ik.

[die hanze]

De wetten van kepler zullen u niet helpen in tegenstelling tot wat mathboy beweert.
De wetten van kepler gaan er reeds vanuit dat je een gebonden systeem hebt in een ellips vormige baan. Net een deel van wat jij probeert te bewijzen. 
De wetten van kepler zijn eenvoudig te bewijzen door gebruik te maken van de behoudswetten en het feit dat de zwaartekracht werkt volgens de verbingsas.

Je zult de bewegingsvergelijkingen moeten oplossen met newtons formule voor de zwaartekracht. Ga over naar bolcoordinaten om de differentiaalvergelijkingen op te lossen. Pas scheiding van veranderlijken toe, het angulair gedeelte is nu eenvoudig op te lossen maar het deel van "r" is lastig. Hier zul je een niet triviale substitutie moeten doen om de differentiaal verg op te lossen.

Laat maar weten als het gelukt is of als je nog een probleem hebt.