Oppervlakteberekening-substitutiemethode

[ODM]

Ik zit een beetje in de knoop met volgend vraagstuk... De te berekenen oppervlakte (tussen x-waarden -9 en 0) heb ik al wel gevonden, maar hoe integreer ik een vierkantswortel met een breuk eronder?
Het rechtse deel van de oppervlakte is een rechthoek, dus die valt te berekenen met B.h, maar wat dus met dat linkse partje?
 
Alvast bedankt!!

[mathfreak]

We hebben de parabool y² = ⅓x+3. Merk op dat we in feite 2 grafieken van 2 functies hebben die gespiegeld liggen ten opzichte van de x-as. De ene functie is de functie

\(f(x)=\sqrt{\frac{1}{3}x+3}\)

Maak gebruik van de eigenschap dat de functie g(x) = f(ax+b) een primitieve heeft van de gedaante

\(G(x)=\frac{1}{a}F(ax+b)\)

Welke primitieven vind je dus, en wat wordt dus de gevraagde oppervlakte?

[ODM]

Ik begrijp dat er in feite 2 grafieken en dus ook 2 functies zijn, maar die tweede functie, onder de x-as is toch zelfs overbodig om te berekenen, aangezien enkel de oppervlakte boven de x-as wordt gevraagd?

[EvilBro]

\(y^2 = \frac{x}{3} + 3\)

Ofwel:

\(x(y) = 3 y^2 - 9\)

Zie x dus als functie van y ipv andersom. Integreren is nu een peulenschilletje (y loopt van 0 tot 1)...

[ODM]

Excuses voor weer een vraag maar dan kom ik uit op 1/2?
Na inversie van de functie moet je toch de integraal van 0 tot 1 van 3y²-9 nemen he?
Ik had dit dan opgesplitst in 2 integralen: 3. integraal van 0 tot 1 van y²  -  integraal van 0 tot 1 van 9
 
Wat is hier verkeerd aan?

[EvilBro]

De functie is:

\(x = 3 y^2 - 9\)

Je wilt het oppervlak tussen de y-as en deze functie. De y-as zit altijd boven de functie, dus de integraal wordt:

\(\int_0^1 0 - (3 y^2 - 9) dy = \int_0^1 9 - 3 y^2 dy = \left[ 9 y - y^3\right]_0^1 = 9 - 1 = 8\)

[ODM]

Waarom dan 0 - de functie en niet gewoon de integraal van de functie alleen?

Sorry voor de eventueel domme vragen, mijn basiskennis integralen gaat jammer genoeg niet zo ver..

[mathfreak]

Stel dat je 2 functies f en g hebt op [a,b] waarvoor g(x)>f(x) voor alle x in [a,b]. De oppervlakte van het vlakdeel, begrensd door de grafieken van f en g en de rechten x = a en x = b is dan

\(\int_a^bg(x)-f(x)dx\)

Bedenk dat de x-as in dit geval een rechte is met vergelijking y = 0 en dus niets anders is dan de grafiek van een constante functie. Dat is dan ook de reden dat de integraal er uit ziet zoals aangegeven.

[ODM]

Uw eerste alinea brengt zeker wel duidelijkheid, maar het feit dat y = 0 te vergelijken is met g(x) in bovenstaande formule kan toch niet kloppen? y = 0 staat toch alleen maar voor de linkergrens van je omgekeerde integraal?

[mathfreak]

Bedenk daf y = c een rechte evenwijdig met de x-as is, en dat deze rechte de grafiek van een constante functie voorstelt. Jij geeft in jouw schets alleen een gebied tussen de rechte y = 1 en de x-as weer, maar volgens mij moet je het gedeelte van de parabool dat onder de x-as ligt ook bij je oppervlakteberekening betrekken.

[ODM]

Ah nee, één van de grenzen zijn de x-as en y-as, dus onderste deel telt niet mee dacht ik hoor..

[mathfreak]

Ah nee, één van de grenzen zijn de x-as en y-as, dus onderste deel telt niet mee dacht ik hoor..

Werk dan eens de integraal uit met behulp van de aanwijzing van EvilBro en kijk eens of je zo op het gegeven antwoord uitkomt. Het zou ook kunnen dat je de vraag interpreteert als "bereken de oppervlakte van het vlakdeel boven de x-as", maar dan zou dat volgens mij ook zo in de opgave moeten staan.

[ODM]

Ik heb het antwoord gevonden na alles nog eens extra door te nemen, ik had denk ik een fout gemaakt bij het buiten de integraal brengen van de 3.. Je kan toch ook de integraal berekenen zonder die af te trekken van 0, en dan het teken te wisselen he? In dit geval klopt dat wel, maar ik weet niet of dat altijd zo is.. Superbedankt voor de hulp!