Wiskunde: lineaire algebra

[sanu]

Hallo!
 
Opgave
Zoek alle lineaire functies f : R^3 → R die voldoen aan f(1, 2, 3) = 1, f(4, 5, 6) = 0, en f(5, 7, 9) = 1. Hoeveel lineaire functies zijn er, en beschrijf ze indien er oplossingen zijn.
 
Ik heb een poging gedaan en kom uit op het volgende: 
f: R^3 → R : x -> AX + B met A = 1x3 matrix en B = 1x1 matrix. Dus
 
"A (1 2 3) (getallen verticaal opgeschreven, hier horizontaal weergegeven) + B = 1"
Zo is "A (5 7 9) + B = 1"  en bijgevolg ook "A(4 5 6) + B = 0" => hieruit kan ik B afleiden, die is gelijk aan "- A ( 4 5 6)". 
En als ik dit invul in "A (1 2 3) + B = 1" wordt het "A (1 2 3) - A(4 5 6) = 1". Hoe moet ik nu verder? Of is dit een foute aanpak en kan iemand mij wijzen in de richting van de goede methode? 
 
Alvast heel erg bedankt voor uw tijd!
 
 

[Professor Puntje]

Terug naar de definitie:

https://nl.wikipedia.org/wiki/Lineaire_afbeelding

Laat nu voor het gemak:

e₁ = (1,0,0); e₂ = (0,1,0); e₃ = (0,0,1) .

f₁= f(e₁); f₂ = f(e₂); f₃ = f(e₃) .

Dan hebben we:

f((1, 2, 3)) = f(1e₁ + 2e₂ + 3e₃) = 1.f(e₁) + 2.f(e₂) + 3.f(e₃) = 1.f₁ + 2.f₂ + 3.f₃ = 1

f((4,5,6)) = f(4e₁ + 5e₂ + 6e₃) = 4.f(e₁) + 5.f(e₂) + 6.f(e₃) = 4.f₁ + 5.f₂ + 6.f₃ = 0

f((5,7,9)) = f(5e₁ + 7e₂ + 9e₃) = 5.f(e₁) + 7.f(e₂) + 9.f(e₃) = 5.f₁ + 7.f₂ + 9.f₃ = 1

Voor zover er lineaire afbeeldingen f van het gezochte type zijn geldt daar dus voor:

1.f₁ + 2.f₂ + 3.f₃ = 1

4.f₁ + 5.f₂ + 6.f₃ = 0

5.f₁ + 7.f₂ + 9.f₃ = 1

Met:

f((x,y,z)) = x.f₁ + y.f₂ + z.f₃ .

En de (eventuele) oplossingen voor f₁, f₂ en f₃ van het stelsel vergelijkingen kun je berekenen....

(Of dit de standaardaanpak is, weet ik niet. Maar zo zou ik het doen. )

[sanu]

Terug naar de definitie:

https://nl.wikipedia.org/wiki/Lineaire_afbeelding

Laat nu voor het gemak:

e₁ = (1,0,0); e₂ = (0,1,0); e₃ = (0,0,1) .

f₁= f(e₁); f₂ = f(e₂); f₃ = f(e₃) .

Dan hebben we:

f((1, 2, 3)) = f(1e₁ + 2e₂ + 3e₃) = 1.f(e₁) + 2.f(e₂) + 3.f(e₃) = 1.f₁ + 2.f₂ + 3.f₃ = 1

f((4,5,6)) = f(4e₁ + 5e₂ + 6e₃) = 4.f(e₁) + 5.f(e₂) + 6.f(e₃) = 4.f₁ + 5.f₂ + 6.f₃ = 0

f((5,7,9)) = f(5e₁ + 7e₂ + 9e₃) = 5.f(e₁) + 7.f(e₂) + 9.f(e₃) = 5.f₁ + 7.f₂ + 9.f₃ = 1

Voor zover er lineaire afbeeldingen f van het gezochte type zijn geldt daar dus voor:

1.f₁ + 2.f₂ + 3.f₃ = 1

4.f₁ + 5.f₂ + 6.f₃ = 0

5.f₁ + 7.f₂ + 9.f₃ = 1

Met:

f((x,y,z)) = x.f₁ + y.f₂ + z.f₃ .

En de (eventuele) oplossingen voor f₁, f₂ en f₃ van het stelsel vergelijkingen kun je berekenen....

(Of dit de standaardaanpak is, weet ik niet. Maar zo zou ik het doen. )

Oké, snap ik! Heel erg bedankt! In dit geval bevond uitkomst (=1) in R, hoe zou het moeten zijn indien in de opgave stond dat de uitkomst (0,2) was? Dus gaande van R^3 naar R^2? 

[Professor Puntje]

Bedoel je dit?
 
Opgave
Zoek alle lineaire functies f : R³ → R² die voldoen aan f((1, 2, 3)) = (0,2), f((4, 5, 6)) = (0,0), en f((5, 7, 9)) = (0,2). Hoeveel lineaire functies zijn er, en beschrijf ze indien er oplossingen zijn.

[sanu]

Bedoel je dit?
 
Opgave
Zoek alle lineaire functies f : R³ → R² die voldoen aan f((1, 2, 3)) = (0,2), f((4, 5, 6)) = (0,0), en f((5, 7, 9)) = (0,2). Hoeveel lineaire functies zijn er, en beschrijf ze indien er oplossingen zijn.

Ja precies! 

[Professor Puntje]

Nieuwe opgave

Zoek alle lineaire functies f : R³ → R² die voldoen aan:

 

f((1, 2, 3)) = (0, 2) ;

 

f((4, 5, 6)) = (0, 0) ;

 

f((5, 7, 9)) = (0, 2) .

 

Hoeveel van zulke lineaire functies f zijn er, en beschrijf die functies indien ze er zijn.

 

 
Oplossing:

 

Laat:

 
d₁ = (1,0,0); d₂ = (0,1,0); d₃ = (0,0,1)

 
e₁ = (1,0); e₂ = (0,1)

 

f(d₁) = f_1,1 . e₁ + f_1,2 . e₂

 

f(d₂) = f_2,1 . e₁ + f_2,2 . e₂

 

f(d₃) = f_3,1 . e₁ + f_3,2 . e₂

 

Dan hebben we:

 

f((1, 2, 3)) = (0, 2) ;

 

f((1 . d₁ + 2. d₂ + 3 . d₃)) = 0 . e₁ + 2 . e₂

 

1 . f(d₁) + 2. f(d₂) + 3 . f(d₃) = 0 . e₁ + 2 . e₂

 

1 . (f_1,1 . e₁ + f_1,2 . e₂) + 2. (f_2,1 . e₁ + f_2,2 . e₂) + 3 . (f_3,1 . e₁ + f_3,2 . e₂) = 0 . e₁ + 2 . e₂

 

(1 . f_1,1 + 2. f_2,1 + 3 . f_3,1) . e₁ + (1 . f_1,2 + 2. f_2,2 + 3 . f_3,2) . e₂ = 0 . e₁ + 2 . e₂

 

Dus:

 

1 . f_1,1 + 2. f_2,1 + 3 . f_3,1  = 0     (1)

 

en

 

1 . f_1,2 + 2. f_2,2 + 3 . f_3,2  = 2     (2)

 

 

Kun je nu zelf de vergelijkingen (3), (4), (5) en (6) vinden?