Staan er tussen 1 en 2 meer getallen dan tussen 1 en 3?

[Plectrum]

Tussen 1 en 2 staan al oneindige veel getallen. Heeft het dus zin te zeggen dat tussen 1 en 3 nog meer getallen staan?
 

[EvilBro]

Nee, de notie van "meer" werkt niet goed als het om "oneindig veel" gaat.

Stel dat ik de volgende relatie bedenk:

\(f(x) = 2 x - 1\)

Door deze relatie wordt elk getal in het interval [1,2] gekoppeld aan precies een ander getal in het interval [1,3].

[physicalattraction]

Opmerking moderator

Deze topic past beter in het wiskundeforum en is daarom verplaatst.

[TD]

Tussen 1 en 2 staan al oneindige veel getallen. Heeft het dus zin te zeggen dat tussen 1 en 3 nog meer getallen staan?

 
Leuke vraag en het volgende is alleen een aanvulling op wat EvilBro al schreef.
 
Als verzamelingen een eindig aantal elementen bevatten, kan je de onderlinge 'grootte' goed vergelijken: gewoon tellen en kijken welke verzameling méér elementen heeft. Maar wanneer verzamelingen oneindig veel elementen bevatten, gaat dat niet zomaar. Dan stelt zich de vraag of je nog wel zinvol kan vergelijken en hoe je dat dan best kan doen.
 
Intuïtief valt er wel iets te zeggen voor "er zijn meer getallen in [1,3] dan in [1,2]" omdat elk getal in [1,2] ook in [1,3] zit, maar [1,3] bevat getallen die niet in [1,2] zitten, zoals 2,5. Het nadeel van deze manier van vergelijken is dat je alleen kan kijken naar verzamelingen waarbij de ene een deelverzameling is van de andere; als ze niet identiek zijn. En bovendien zijn de intervallen in dit voorbeeld dan nog heel 'brave verzamelingen' en wil je ook kunnen kijken naar verzamelingen die veel ingewikkelder in elkaar zitten.
 
Die intuïtie moet je dus een stuk loslaten en dan is het volgende een betere manier om te tellen en vergelijken. Stel je hebt twee zakken met knikkers (een eindig aantal...) maar je wil niet gewoon de aantallen in beide zakken apart tellen. Hoe weet je welke groter is? Neem telkens een knikker uit beide zakken en ga zo door tot een van de zakken leeg is!  Wat je dus eigenlijk doet is paren of koppels maken, telkens met een knikker uit de ene en uit de andere zak.
 
Dit inspireert de volgende aanpak: we zeggen dat twee verzamelingen 'even groot' zijn, als je elk element uit de ene kan koppelen aan een element uit de andere en vice versa. Als je met andere woorden een één-op-één verband kan leggen tussen de elementen uit beide verzamelingen. Zie de uitleg van EvilBro voor zo een verband tussen de elementen uit [1,2] en [1,3].
 
Op die manier zijn de verzamelingen van de even getallen {0,2,4,...} en de oneven getallen {1,3,5,...} 'even groot' want ik hoef bij de even getallen telkens maar 1 op te tellen en ik verbind met elk even getal (op een unieke manier) een oneven getal en alle getallen 'komen aan de beurt'. Dat klinkt misschien nog logisch, maar het gevolg is ook dat de even getallen {0,2,4,...} 'even groot' zijn als alle natuurlijke getallen {0,1,2,3,...} want ik hoef de natuurlijke getallen maar met 2 te vermenigvuldigen en ik verbind weer elk even getal op een unieke manier met een natuurlijk getal.
 
Je zou dan kunnen vermoeden dat op deze manier alle verzamelingen met oneindig veel elementen 'even groot' zijn, maar dat is niet waar. Het zal bijvoorbeeld niet lukken om alle getallen in het interval [1,2] op zo'n manier te verbinden met de natuurlijke getallen {0,1,2,3,...}; het interval [1,2] is groter. Stof tot nadenken: de verzameling van de reële getallen is in deze zin 'even groot' als het interval [1,2] en de verzameling van de rationale getallen (alle breuken van gehele getallen) is 'even groot' als de verzameling van de natuurlijke getallen, maar kleiner dan de reële getallen (of dus het interval [1,2]).

[lord anubis]

Je geeft aan "er staan 'al'" Dus je geeft aan dat er meerdere oneindigheden zijn. Volgens mij dus het dubbele + 1, dus wederom nog een keer oneindig veel getal keuze's.

[Professor Puntje]

Je geeft aan "er staan 'al'" Dus je geeft aan dat er meerdere oneindigheden zijn. Volgens mij dus het dubbele + 1, dus wederom nog een keer oneindig veel getal keuze's.

 
Volgens mij zus of volgens mij zo draagt binnen de wiskunde niet bij aan een zinvolle discussie zolang een onderbouwing ontbreekt. Om te beginnen zou je moeten definiëren hoe je oneindige hoeveelheden met elkaar wil vergelijken. Pas daarna kun je dan bekijken hoe dat volgens jouw definitie bij de intervallen (1,2) en (1,3) gesteld is.