Massa veer systeem

[Oplosser]

x''(t)​+ ω^​2 * x(t) = 0
 
De algemene oplossing is: 
 
x(t) = A * e^{​i *ω* t} + B * e^{​-i * ω * t ​}​Ook wel te schrijven als: x(t) = C * sin(ω * t) + D * cos(ω * t)
 
x'(t) = A * i * ω * e^{​i *ω* t} - B * i * ω * e^{​-i * ω * t}
 
x'(t) / x(t) = (A * i * ω * e^{​i *ω* t} - B * i * ω * e^{​-i * ω * t}) / (A * e^{​i *ω* t} + B * e^{​-i * ω * t}​) = i * ω * ((A * e^{​i *ω* t} - B * e^{​-i * ω * t}) / (A * e^{​i *ω* t} + B * e^{​-i * ω * t}​))
 
Er schijnt uit te komen x'(t) / x(t) = I * ω.
Dat komt er ook bijna uit maar de teller en de noemer zijn niet hetzelfde!
 
 
Weet iemand hoe dit zit?

[CoenCo]

Misschien eerst de sin(w*t)+cos(w*t) herschrijven naar sin(phi+w*t) ?

[Professor Puntje]

Er schijnt uit te komen x'(t) / x(t) = I * ω.

Wat is die I? Als dat een constante is kan het niet kloppen want x'(t) en x(t) zijn bij een harmonische trilling niet recht evenredig. Bijvoorbeeld is x'(t) bij de maximale uitwijking nul, zodat we krijgen: I*ω = 0.

[Oplosser]

De letter i is (-1)^​0.5.

[Oplosser]

Beste Coen,
 
Dan volgt:
 
x(t) = A * sin(ωt + Φ)
x'(t) = A * ω * cos(ωt + Φ)
 
x'(t) / x(t) = A * ω * cos(ωt + Φ) / A * sin(ωt + Φ) = ω / tan(ωt + Φ)
 
 
 
 
 
 
 
 
 

[Professor Puntje]

Er schijnt uit te komen x'(t) / x(t) = I * ω.

 

De letter i is (-1)^​0.5.

 
Als je al weet dat je met harmonische signalen te doen hebt kun je de complexe rekenwijze toepassen. Mogelijk wordt dat hier bedoeld.

[Oplosser]

Daar zal het mee  te maken hebben maar de vraag blijft: hoe komt men dan aan: x'(t) /x(t) = i * ω?

[Emveedee]

Zijn er nog randvoorwaarden gegeven?

[Professor Puntje]

Daar zal het mee  te maken hebben maar de vraag blijft: hoe komt men dan aan: x'(t) /x(t) = i * ω?

 
Dat is een kwestie van het differentiëren van de complexe e-macht X(t) = X . exp(i(ωt + φ)) waardoor harmonische signalen bij gebruik van de complexe rekenwijze worden voorgesteld. Deze zelfde rekenwijze wordt ook veel in de elektrotechniek gebruikt. Voorwaarde is wel dat men al moet weten dat het inderdaad om een harmonisch signaal gaat.

[Oplosser]

Het wordt oa gebruikt bij een ingeklemde ligger met buigstijfheid EI, aan de linkerzijde ingeklemd en aan de rechterzijde als ondersteuning een veer en een demper met een massa M.
Zo kan men de eigen frequentie bepalen.
 
 
|                                              M
|--------------------------------------0
|               L, EI, ρA                 | 
 
                                         k_v + c_​d
 
 
Randvoorwaarden:
 
W(x,t) = W(0) * Ψ(t) = 0 * Ψ(t) => W(0) = 0
 
-EI * W'''(L) * ψ(t) = - M * Ψ''(t) * W(L) - c_d​ * Ψ'(t) * W(L) - k_v​ * Ψ(t) ​* W(L)
-EI * W'''(L) * ψ(t) = - M * - ω²​ * Ψ(t) * W(L) - c_d​ * i * ω * Ψ(t) * W(L) - k_v​ * Ψ(t) * W(L)
​-EI * W'''(L) = M * ω²​ * W(L)​ - c_d​ * i * ω * W(L) - k_v​ * W(L)
-EI * W'''(L) = (M * ω² - c_d​ * i * ω - k_v​) * W(L)
 
 
Op deze wijze kan je de tijdfunctie Ψ(t) scheiden van de plaatsfunctie W(t).
 
 
                                 

[Oplosser]

Differentiaalvergelijking massa-demper-veer systeem:
 
 
Gevraagd de steady state oplossing = particuliere oplossing:
 
 
Dv = M * w'' + c * w' + k * w = F sin(Ω * t)
 
Stel particuliere oplossing = steady state solution: W_​p(t) = A * sin(Ω*t) = IM(A * (e^{​i *Ω *t}​)) (formule van Euler)
 
Invullen in de DV geeft: m * -Ω²​ * A * e^{​i *Ω *t} + C * i * Ω * e^{​i *Ω *t}​ + k * e^{​i *Ω *t}​ = F * e^{​i *Ω *t}​ => m * -Ω²​ * A + C * i * Ω​ + k = F
 
​=> A * ((k - m * Ω²​) + c * i * Ω) = F =>
 
A = ^F / _{((k - m * Ω²​) + c * i * Ω)                                                                                                                                                                                            [1]}                                                                                                                                  
 
 
A * (e^{​i *Ω *t}​) = (RE(A) + i * IM(A)) * ((RE(e^{​i * Ω *t}) + i * IM(e^{​i * Ω *t})) = (RE(A) * RE(e^{​i * Ω *t}) + (RE(A) * i * IM(e^{​i *Ω *t})) + (i * IM(A) * RE(e^{​i * Ω * t}) + i * IM(A) * i * IM(e^{​i * Ω *t}))
​
A * (e^{​i *Ω *t}​) = (RE(A) + i * IM(A)) * ((RE(e^{​i * Ω *t}) + i * IM(e^{​i * Ω *t})) = (RE(A) * RE(e^{​i * Ω *t}) + (RE(A) * i * IM(e^{​i *Ω *t})) + (i * IM(A) * RE(e^{​i * Ω * t}) - IM(A) * IM(e^{​i * Ω *t}))
 
Real part: (RE(A) * RE(e^{​i * Ω *t}) - IM(A) * IM(e^{​i * Ω *t}))                                                                                                                     [2]
 
IM part: RE(A) * IM(e^{​i *Ω *t})) + IM(A) * RE(e^{​i * Ω * t})                                                                                                                        [3]
 
 
Aangezien in de  DV sin(Ω * t) hebben we het imaginaire gedeelte [3] nodig. (formule van Euler)
 
 
 
Uitwerken van [1] geeft een Imaginair gedeelte en een reëel gedeelte. De oplossing is dan: [1] invullen in [3];
 
Als in de DV cos(Ω * t) staat dan hebben we het reële gedeelte[2] nodig. De oplossing is dan: [1] invullen in [2];

[Professor Puntje]

@ Oplosser
 
Je hebt interessante topics, die ik door de vreemde layout helaas (!) maar lastig kan volgen.

[Oplosser]

Hoi,
 
Kan je het volgen of is er iets niet helemaal duidelijk?
Als dat zo is lees ik het graag.
 

[Professor Puntje]

- Met de grote "Ω" bedoel je kennelijk de kleine "ω".
 
- Je begint met een grote "M" maar verderop lees ik een kleine "m".
 
- Het reële en imaginaire deel van een complex getal z schrijf je als "RE(z)" en "IM(z)" waar de gebruikelijke notatie "Re(z)" en "Im(z)" is.
 
- Voor √-1 gebruik je soms een grote "I" in plaats van een kleine "i".
 
- Verder breek je vergelijkingen en formules op rare plaatsen af (of plak je ze juist aan elkaar) waardoor ze moeilijk leesbaar worden.
 
- De nummers van de formules staan op zulke plaatsen dat niet al te duidelijk is waar ze bij horen.
 
- Het gebruik van LaTeX zou het geheel ook beter leesbaar maken.
 
- De toelichtingen bij je afleiding zijn zo summier dat er veel te raden overblijft.
 
 
Dat alles maakt dat de aandacht van de lezer danig op de proef wordt gesteld en wordt afgeleid van de wis- en natuurkunde waar het eigenlijk om zou moeten gaan.

[Professor Puntje]

Gezocht een reële particuliere oplossing van onderstaande reële differentiaalvergelijking:

\( \mbox{m} \, w'' + \mbox{c} \, w' + \mbox{k} \, w = \mbox{F} \, \sin(\omega \, t) \,\,\,\,\,\,\,\, (1) \)

 
Bij gebruik van de complexe rekenwijze is dan het idee dat je voor sommige reële differentiaalvergelijkingen gemakkelijker een reële particuliere oplossing vindt door te zoeken naar een complexe particuliere oplossing voor een complexe differentiaalvergelijking waarvan de oorspronkelijke differentiaalvergelijking het reële of imaginaire deel is.
 
Dat gaat als volgt:
 
Gezien de sinus in het rechter lid van onze differentiaalvergelijking (1) kiezen we voor een complexe differentiaalvergelijking waarvan vergelijking (1) het imaginaire deel, is. Onderstaande vergelijking (2) is van het gewenste type:
 

\( \mbox{m} \, w'' + \mbox{c} \, w' + \mbox{k} \, w = \mbox{F} \,\, e^{i \omega t} \,\,\,\,\,\,\,\, (2) \)

 
Voor een particuliere oplossing van vergelijking (2) geldt immers:
 

\( \Im( \mbox{m} \, w'' + \mbox{c} \, w' + \mbox{k} \, w ) = \Im( \mbox{F} \,\, e^{i \omega t} ) \)

 

\( \mbox{m} \, \Im( w'' ) + \mbox{c} \, \Im(w') + \mbox{k} \, \Im(w) = \mbox{F} \,\, \Im(e^{i \omega t}) \)

 

\( \mbox{m} \, ( \Im(w) )'' + \mbox{c} \, (\Im(w))' + \mbox{k} \, \Im(w) = \mbox{F} \,\, \sin(\omega t) \)

 
(In LaTeX wordt "Im" weergegeven als Fraktur letter I.) 
 
Waaruit we zien dat het imaginaire deel van een particuliere oplossing van de complexe differentiaalvergelijking (2) tevens een reële particuliere oplossing van de reële differentiaalvergelijking (1) is.
 
Vervolgens kun je door substitutie in (2) uitproberen of onderstaande complexe functie als particuliere complexe oplossing voor (2) voldoet:
 

\( w(t) = \mbox{A} \, e^{i ( \omega t + \varphi) } \)