Identificatie van V** en V?

[Professor Puntje]

Om het topic over de wiskunde van de ART niet te laten ontsporen open ik hier een nieuw topic speciaal over de zin of onzin van de identificatie van de vectorruimten V en V**.

 

Dit is voor mij de kern van het probleem:
 
De verzameling R² tezamen met de optelling (x,y) + (x',y') = (x + x',y+y') en scalaire vermenigvuldiging a.(x,y) = (a.x,a.y) vormt een vectorruimte over R. We noemen die vectorruimte W. Dan is W** isomorf met W. Maar dat betekent nog niet dat de vectoren in W en daarmee overeenkomende vectoren in W** in alle relevante opzichten dezelfde eigenschappen hebben. De vectoren in W** zijn lineaire functies van W* naar R (en bij zulke functies kun je elementen van W* als argument invoeren), maar de vectoren in W zijn geen functies en er valt daarbij als argument dan ook niets in te voeren. Er zijn dus voor de constructie van vectorruimte relevante eigenschappen die de elementen van W** wel hebben maar de elementen van W niet.

[Th.B]

Geef een voorbeeld van een geval waarin deze identificatie wordt gebruikt waar dat volgens jou ongeoorloofd of niet precies genoeg is. Dan kunnen we daar over discussieren. 
 
Ik wil je graag helpen, maar hier kan ik niet zo veel mee. 

[Professor Puntje]

Ik denk dat de wiskundigen die de betreffende identificatie toepassen er wel voor zorgen dat ze daarbij binnen de context blijven waarbinnen die identificatie geen kwaad kan.
 
In mijn openingsbericht heb ik een voorbeeld gegeven waarbij de identificatie wel spaak loopt: als we voor de vectorruimte V de vectorruimte W (zoals gedefinieerd in mijn openingsbericht) kiezen dan betekent V = V** dat de elementen van R² moeten bestaan uit lineaire functionalen op W*. En verder zouden de vectoren in W* weer lineaire functionalen op de verzameling R² moeten zijn. Ik zie niet hoe je dat op een verzamelingstheoretisch correcte wijze voor elkaar kunt krijgen. (Of misschien via het alternatieve systeem van de non-well-founded sets?)

[Math-E-Mad-X]

Ik snap niet waarom je hier nog steeds een probleem in ziet. Het probleem was toch allang opgelost, door simpelweg het kanonieke isomorfisme f tussen V en V** te beschouwen, en verder via abuse of notation overal v te schrijven waar we eigenlijk f(v) bedoelen.
 
We kunnen dus gewoon zeggen dat ze niet gelijk zijn, maar dat we toch dezelfde notatie gebruiken. Vervolgens is het nog maar een kleine stap om niet alleen maar 'abuse of notation' te gebruiken, maar ook 'abuse of terminolgy', en gewoon te zeggen dat ze allebei gelijk zijn, ookal is dit niet echt zo.
 
Het probleem is denk ik dat jij het begrip 'gelijkheid' gewoon te letterlijk neemt. Als wiskundigen zeggen dat twee objecten 'gelijk' zijn, dan bedoelt men eigenlijk 'gelijk in alle relevante aspecten'.

[Math-E-Mad-X]

Robbert Dijkgraaf wist dit ook heel duidelijk uit te leggen, toen ik ooit als eerstejaars student college van hem had. Ik weet niet meer precies hoe het ging, maar het kwam op het volgende neer:

Hij liet een powerpoint slide zien met een driehoek en een cirkel, en vroeg: "zijn deze objecten gelijk?". Uiteraard was men het er over eens dat ze niet aan elkaar gelijk waren.

Vervolgens liet hij een slide zien met twee driehoeken, en stelde dezelfde vraag. Het was nu duidelijk dat je aan de ene kant kun zeggen dat ze gelijk waren, want het waren allebei driehoeken, maar het waren wel duidelijk verschillende driehoeken, dus ze waren ook weer niet echt gelijk.

 

Vervolgens liet hij twee driehoeken zien met exact dezelfde vorm, maar veschillende afmetingen. Hij legde uit dat dit ook wel 'congruente' driehoeken worden genoemd. Die terminologie wordt gebruikt omdat ze aan de ene kant niet helemaal hetzelde zijn (de ene was groter dan de andere), maar omdat men vaak alleen in de vorm geinteresseerd is, en niet zozeer in het formaat van de driehoeken, dus in zekere zin zijn ze toch gelijk.

 

En als laatste liet hij twee driehoeken zien de exact aan elkaar gelijk leken te zijn. Ze hadden dezelfde hoeken, en hetzelfde formaat. er was echt geen enkel verschil te zien. Opnieuw vroeg hij of ze hetzelfde waren. Iedereen in de collegezaal was het er uiteraard over eens dat ze hetzelfde waren. Maar toen zei Dijkgraaf "nee, ze zijn niet helemaal gelijk, want de ene driehoek staat links op het scherm en de andere rechts". Dat was natuurlijk een ontzettend flauwe opmerking, maar hij maakte er wel een valide punt mee.

De moraal van dit verhaal is dat twee objecten nooit helemaal gelijk aan elkaar zijn. Immers, als dat wel het geval is dan zijn het geen twee objecten, maar is het gewoon één object. Als je het begrip 'gelijkheid' dus helemaal letterlijk neemt, dan is het een volkomen leeg en zinloos begrip. 'Gelijkheid' betekent per definitie altijd alleen maar dat twee objecten over een zekere mate van equivalentie beschikken, en de vraag wanneer je twee objecten wel of niet als gelijk mag beschouwen hangt volkomen af van de mate van detail waar je naar wil kijken.

[Professor Puntje]

Dank voor de uitgebreide uitleg! Strikt genomen zijn twee te onderscheiden objecten nooit precies gelijk aan elkaar, want dan waren ze ook niet te onderscheiden. Dat is waar. Ik zie dat als een helaas niet te vermijden smet op de wiskunde.

 

Om te volgen hoe de moderne wiskunde 'gelijkheid' gebruikt zal ik kennelijk moeten meegaan in de gedachte dat 'gelijkheid' context-afhankelijk is en niet letterlijk moet worden genomen. Maar als ik dat doe stuit ik op een nieuw probleem: wat is precies de context waarbinnen ongelijke objecten als gelijk mogen worden beschouwd. En de antwoorden die ik tot nog toe gehad heb komen erop neer dat ook dat van de context afhangt. Er wordt niet rigoureus bewezen wanneer (binnen welke context) de identificatie van ongelijke objecten wel of niet kwaad kan. En zo zie ik het hele magnifieke streng opgetrokken bouwwerk van de wiskunde in een poel van vaagheid wegzakken.

 

Binnen de categorietheorie zou het allemaal goed worden onderbouwd, maar mijn bange vermoeden is dat de identificatie van ongelijke objecten daarin nog veel verder uit de klauwen gaat lopen.

 

Deze discussie doet mij denken aan de beoefening van de infinitesimaalrekening voordat men over een rigoureuze onderbouwing beschikte. Het werkte en men voelde wel aan wat men daarin wel of niet kon maken, dus slechts een enkele zonderling hier en daar maakte zich druk om eventuele inconsistenties.

 

 

Ik snap niet waarom je hier nog steeds een probleem in ziet. Het probleem was toch allang opgelost, door simpelweg het kanonieke isomorfisme f tussen V en V** te beschouwen, en verder via abuse of notation overal v te schrijven waar we eigenlijk f(v) bedoelen.

 

We kunnen dus gewoon zeggen dat ze niet gelijk zijn, maar dat we toch dezelfde notatie gebruiken. Vervolgens is het nog maar een kleine stap om niet alleen maar 'abuse of notation' te gebruiken, maar ook 'abuse of terminolgy', en gewoon te zeggen dat ze allebei gelijk zijn, ookal is dit niet echt zo.

 

Het probleem is denk ik dat jij het begrip 'gelijkheid' gewoon te letterlijk neemt. Als wiskundigen zeggen dat twee objecten 'gelijk' zijn, dan bedoelt men eigenlijk 'gelijk in alle relevante aspecten'.

 

 

Als ik je goed begrijp heb je het dan via abuse of notation over (elementen van) de dubbelduale vectorruimte V** terwijl je (elementen van) de vectorruimte V noteert. Het blijft mij tegen de borst stuiten, maar misschien went het op den duur wel.

 

Ik vraag mij nog af of we zonder abuse of notation hetzelfde kunnen bewerkstelligen door een onderscheid te maken tussen tensoriële en niet-tensoriële vectorruimten. We zouden alleen die vectorruimten V waarvoor er een bijpassende vectorruimte U bestaat zodat V = U** tensorieel kunnen noemen. In dat geval is mijn vectorruimte W niet tensorieel, maar zijn W**, W****, etc. dat wel. Door nu de tensoriële vectorruimten W**, W****, W******, etc. wel te identificeren maar de niet-tensoriële vectorruimte W en de tensoriële vectorruimte W** niet wordt mijn probleem (grotendeels) voorkomen. De vraag is alleen of dat in de wiskundige praktijk werkbaar is.

[Math-E-Mad-X]

Als ik je goed begrijp heb je het dan via abuse of notation over (elementen van) de dubbelduale vectorruimte V** terwijl je (elementen van) de vectorruimte V noteert.

 
Inderdaad. 'abuse of notation' betekent niets anders dan dat je expres de verkeerde notatie gebruikt, met als doel om de notatie te vereenvoudigen. Dat is heel normaal en vaak zelfs aan te bevelen.

[Math-E-Mad-X]

Om te volgen hoe de moderne wiskunde 'gelijkheid' gebruikt zal ik kennelijk moeten meegaan in de gedachte dat 'gelijkheid' context-afhankelijk is en niet letterlijk moet worden genomen. Maar als ik dat doe stuit ik op een nieuw probleem: wat is precies de context waarbinnen ongelijke objecten als gelijk mogen worden beschouwd.

 
Zo ingewikkeld is dat niet hoor. Je moet gewoon de volgende drie punten in gedachten houden:
 
1) Twee objecten zijn nooit exact gelijk aan elkaar.
 
2) Twee objecten zijn equivalent ten opzichte van een bepaalde equivalentierelatie, als ze in dezelfde equivalentieklasse zitten.
Dit heeft dus alleen betekenis als je eerst een equivalentierelatie definieert.
 
3) Wanneer men zegt dat twee objecten gelijk zijn, dan bedoelt men eigenlijk dat ze equivalent zijn en de relevante equivalentierelatie wordt daarbij niet altijd expliciet vermeld. Vaak wordt gewoon verondersteld dat dat wel duidelijk is bij de lezer, of dat de lezer de details daaromtrent zonodig zelf kan invullen.

[Math-E-Mad-X]

 Het blijft mij tegen de borst stuiten, maar misschien went het op den duur wel.
 

 
Maar ik weet zeker dat ook jij af en toe abuse of notation gebruikt, alleen heb je dat zelf waarschijnlijk niet eens door.
 
voorbeeld: laat f een afbeelding zijn van A naar B, en laat a een element zijn van A, dan geven we het beeld van a onder de afbeelding f aan met de notatie f(a).
Neem nu het speciale geval dat A = R^2. dan is a dus een paar reele getallen, bijvoorbeeld a = (1,2).
Dan zou je misschien geneigd zijn om te schrijven

\(f(1,2) \in B\)

Maar dit is incorrect! De correcte notatie is namelijk

\(f((1,2)) \in B\)

Met dubbele haakjes!
 
Echter, geen enkele serieuze wiskundige zou het in zijn hoofd halen om zo precies te zijn. Sterker nog, geen enkele serieuze wiskundige zou zelfs maar de moeite nemen om even te vermelden dat hij gebruik maakt van abuse of notation en daarom slechts enkele haakjes gebruikt.
 
En ik durf te wedden dat ook jij hier nog nooit de correct notatie voor hebt gebruikt.

[Professor Puntje]

En ik durf te wedden dat ook jij hier nog nooit de correct notatie voor hebt gebruikt.

 
Die weddenschap had je dan verloren!
 
Maar ik moet toegeven dat ik het al snel moe werd om steeds die dubbele haakjes te zetten. Heel soms doe ik dat nog wel als het om een theorie gaat die ik nog niet helemaal onder de knie heb.
 
Ik begrijp ook dat abuse of notation bij de toepassing van een theorie dermate handig is dat nagenoeg iedereen zich daaraan (na verloop van tijd) bezondigt. Maar wanneer abuse of notation ook bij de uitleg van een theorie wordt gebruikt heb ik daar moeite mee. Ik probeer zo'n theorie in die fase nog stap voor stap te doorgronden en te controleren of ik met alle logische stappen kan instemmen. Daarbij is het hinderlijk wanneer zaken opzettelijk verkeerd worden genoteerd omdat ik dan steeds terug moet vertalen naar wat er eigenlijk (formeel) bedoeld is. 

[Professor Puntje]

3) Wanneer men zegt dat twee objecten gelijk zijn, dan bedoelt men eigenlijk dat ze equivalent zijn en de relevante equivalentierelatie wordt daarbij niet altijd expliciet vermeld. Vaak wordt gewoon verondersteld dat dat wel duidelijk is bij de lezer, of dat de lezer de details daaromtrent zonodig zelf kan invullen.

 
Toegepast op V en V** kom ik dan tot:
 
Bij V en V** is de equivalentierelatie het isomorfisme dat tussen V en V** bestaat. Dat isomorfisme garandeert dat overeenkomstige vectoren uit V en V** als vectoren beschouwd exact dezelfde eigenschappen hebben. Dus als a, b, c, ... uit V volgens het isomorfisme corresponderen met a', b', c', ... uit V** dan zijn alle uitsluitend op vectoreigenschappen betrekking hebbende uitspraken E(a,b,c, ...) en E(a',b',c', ...) logisch gelijkwaardig. Dus kan je in een dergelijk bewijs ook a,b,c, ... door a',b',c', ... vervangen en omgekeerd. In die zin kun je ze binnen een door het isomorfisme bepaalde beperkte context gelijk noemen.
 
Is dit zo ongeveer de bedoeling?

[Th.B]

In bovenstaande discussie is de essentie al wel vrij goed samengevat, maar ik wil nog maar eens benadrukken dat 'gelijkheid' dus net als alles in de wiskunde een definitiekwestie is. We maken zelf de regels. 

[Math-E-Mad-X]

 
Die weddenschap had je dan verloren!
 
Maar ik moet toegeven dat ik het al snel moe werd om steeds die dubbele haakjes te zetten.

 
Haha, oké
 
Maar uiteindelijk werd ook jij er moe van. Ik denk alleen dat de meeste wiskundigen iets eerder 'moe' worden dan jij

[Math-E-Mad-X]

 
Is dit zo ongeveer de bedoeling?

 
Dat is inderdaad ongeveer de bedoeling.
 
Daarbij zou ik alleen nog wel willen opmerken het hier niet over zomaar een isomorfisme gaat, maar om een heel specifiek isomorfisme, meestal aangeduid met het 'kanonieke isomorfisme'.
Dat is het isomorfisme f dat voldoet aan f(v)(w) = w(v).  voor elke v in V en elke w in V*
 
Merk op dat iedere twee vectorruimten met dezelfde dimensie isomorf zijn. Dus als je 'isomorfisme' in het algemeen als equivalentierelatie gebruikt dan wordt je equivalentieklasse veel groter, en dan zijn zelfs V en V* equivalent aan elkaar.

[Professor Puntje]

Dat 'kanonieke isomorfisme' is dan waarschijnlijk het laatste puzzelstukje dat mijn nog resterende problemen met identificatie oplost. Daar moet ik dan nog wat meer info over opzoeken.