Lagrange

[ukster]

L bevat de twee parameters Θ en x, en hun afgeleide.
Met de Lagrange vergelijking kunnen twee bewegingsvergelijkingen gevonden worden.

Lagrange 1543 keer bekeken

Ik zou dit zelf willen oplossen, maar zie niet hoe of wat!
Iemand een hint?
groet.
 

[ukster]

correctie!

Lagrange 1541 keer bekeken

[Xilvo]

Als ik het goed begrijp heb je geen randvoorwaardes en is Q_i=0
 
Dan
 

\(\frac{d}{dt}(\frac{\delta L}{\delta \dot{x}}})=\frac{\delta L}{\delta x}\)

 
en
 

\(\frac{d}{dt}(\frac{\delta L}{\delta \dot{\theta}}})=\frac{\delta L}{\delta \theta}\)

 
Als ik me niet heb vergist levert dat
 

\((M+m)\ddot{x}-m.l.\dot{\theta}.\ddot{x}.cos(\theta)=0\)

 
en
 

\(-m.l.\dot{x}.cos(\theta)+m.l^{2}.\ddot{\theta}=m.l.\dot{\theta}.\dot{x}.sin(\theta)+m.g.l.sin(\theta)\)

 
Twee gekoppelde differentiaalvergelijkingen die in ieder geval numeriek op te lossen zijn.
 
Wat is het systeem of vraagstuk waar deze Lagrangiaan over gaat?

[ukster]

Het gaat om dit omgekeerde slinger systeem.
Er zijn verder geen randvoorwaarden.

Inverted pendulum system 1541 keer bekeken

 
dit moet eruit komen!

Bewegingsvergelijkingen 1541 keer bekeken

 
daarbij is dit toegepast ...

Lagrange toepassing 1541 keer bekeken

[ukster]

Ik begrijp dit ook niet!

oplossing 1541 keer bekeken

[ukster]

de afleiding van L kan ik goed volgen, maar Lagrange is mij een raadsel..

Inverted pendulum system

(161.71 KiB) 201 keer gedownload

[Xilvo]

Er zijn een aantal zaken die me niet duidelijk zijn of die niet kloppen:
 
1. In de eerste term van de Lagrange-Euler vgl. moet eerst de afgeleide van L naar de afgeleide van g genomen worden, en dan van dit resultaat dan de afgeleide naar de tijd. Er ontbreekt dan een puntje boven de g_i.
 
2. g_i=x geeft de vergelijking voor de x-richting van M en een bijdrage voor de x-positie van m;
g_i=θ geeft de tweede bijdrage voor m in de x-richting, plus de beweging van m in de y-richting, plus de term voor de potentiële energie.
 
3. Is F een aangelegde kracht? Of wordt M bijvoorbeeld oscillerend bewogen (zodat x, x' en x'' bekend zijn en F verder niet bekend hoeft te zijn)?

[Xilvo]

Kijk hier eens naar:
 
http://www.people.fas.harvard.edu/~djmorin/chap6.pdf

[ukster]

F is de uitgeoefende kracht van een servomotor op het karretje

Er ontbreekt dan een puntje boven de g_i.??
ik kan dat niet beoordelen omdat Lagrange voor mij vooralsnog een brug te ver is.
Als ik er zo naar kijk denk ik dat je gelijk hebt.
geldt ook zoiets voor de 2e g_i?
De uitkomsten van de genoemde bewegingsvergelijkingen voor dit model zijn geverifieerd en blijken correct..
 
 

[Xilvo]

Zonder het puntje boven de eerste g klopt de vergelijking dimensioneel niet; de eerste term heeft dan een s^-1 door de d/dt die de tweede term niet heeft.

[ukster]

dit dus?

Lagrangiaan 1540 keer bekeken

[Xilvo]

Volgens mij in die trant, al zie ik niet waar de laatste term in de 'F=..' vergelijking vandaan komt, die met θ' ².
Maar ik zal er later wat beter naar kijken. Wat ik in #3 schreef klopt in ieder geval niet.

[ukster]

toepassen van de productregel en het klopt....

produktregel 1540 keer bekeken

[Xilvo]

Het klopt! 

[ukster]

De Lagrangiaan afbreken in afzonderlijke stukjes en hier en daar de productregel toepassen werkt het beste ben ik achter gekomen.(je behoudt hiermee het overzicht)

2e bewegingsvergelijking 1540 keer bekeken

Langrange schijnt de voorkeur te hebben boven de oplossingsmethode via de wetten van Newton.
Ik heb dit principe ook nog even toegepast op een eenvoudige wrijvingsloze slinger.

Eenvoudige wrijvingsloze slinger

(109.14 KiB) 114 keer gedownload

Het is me nu allemaal wel duidelijk en uiteindelijk valt het best mee.