coefficient

[ukster]

(x-3)/((x² -3x+2)
Het lijkt me dat deze expressie eerst in een reeks moet worden uitgedrukt om de coëfficiënt van x⁵⁰ te kunnen bepalen.
kan dit in een standaardreeks gegoten worden?

 

[Professor Puntje]

\( \frac{x - 3}{x^2 - 3 x + 2} = \sum_{i=0}^{\infty} \mbox{a}_i \, x^i \)

 

\( x - 3 = (x^2 - 3 x + 2) \cdot \sum_{i=0}^{\infty} \mbox{a}_i \, x^i \)

 

\( x - 3 = x^2 \cdot \sum_{i=0}^{\infty} \mbox{a}_i \, x^i \,\,\, - \,\,\, 3 x \cdot \sum_{i=0}^{\infty} \mbox{a}_i \, x^i \,\,\, + \,\,\, 2 \cdot \sum_{i=0}^{\infty} \mbox{a}_i \, x^i \)

 

\( x - 3 = \sum_{i=0}^{\infty} \mbox{a}_i \, x^{i+2} \,\,\, - \,\,\, \sum_{i=0}^{\infty} 3 \cdot \mbox{a}_{i} \, x^{i+1} \,\,\, + \,\,\, \sum_{i=0}^{\infty} 2 \cdot \mbox{a}_i \, x^i \)

 
En dan verder uitwerken tot je een oneindig stelsel vergelijkingen voor de coëfficiënten krijgt...
 
Maar ik weet niet of dat wiskundig gesproken kan en mag, en heb er nu ook geen tijd voor om het uit te zoeken.

[mathfreak]

Het lijkt me dat deze expressie eerst in een reeks moet worden uitgedrukt om de coëfficiënt van x⁵⁰ te kunnen bepalen.

Kun je in dat verband eens aangeven wat eigenlijk precies je bedoeling is?

[ukster]

De bedoeling is het vinden van de coëfficiënt van de term x⁵⁰ uit de machtreeks van de expressie (x-3)/(x²-3x+2)
 
@prof Puntje
Ik kan het allemaal volgen maar:
[attachment=27188:coëfficiënt.jpg]
dan is de coëfficiënt van x⁵⁰ (rechterkant = teken)  a₄₈ -3a₄₉+2a₅₀     , en die zijn allemaal onbekend!
en wat kan de term x-3 aan de linkerkant hieraan bijdragen?
 
En dan verder uitwerken tot je een oneindig stelsel vergelijkingen voor de coëfficiënten krijgt...
dat is wel heel veel

[Professor Puntje]

x - 3 = -3 + x + 0.x² + 0.x³ + 0.x⁴ + ....
 
Daaruit vind je een stelsel van oneindig veel vergelijkingen voor de coëfficiënten, wat dan hopelijk oplosbaar is.

[ukster]

je bedoelt dat het praktisch onmogelijk is in deze vorm de gevraagde coëfficiënt te bepalen?

[Professor Puntje]

Je kunt met a₀ beginnen? Hopelijk volgt dan uit het een het ander tot je genoeg a-tjes weet.
 
Maar of dat wiskundig allemaal in de haak is weet ik niet, daar heb ik nu geen tijd voor om uit te zoeken. Anderen zullen die kennis wel paraat hebben.

[ukster]

Inderdaad geen dagelijkse kost maar wel interessant omdat je weet dat er bij elke term in een machtreeks een coëfficiënt hoort.

[TD]

De bedoeling is het vinden van de coëfficiënt van de term x⁵⁰ uit de machtreeks van de expressie (x-3)/(x²-3x+2)

 
Maar er is niet zoiets als "de machtreeks van die expressie", dus wat is de opgave precies of waar komt dit vandaan?

[ukster]

De reeks ervan is niet bekend en zal eerst gevonden moeten worden om uiteindelijk de coëfficiënt van x⁵⁰ te kunnen bepalen.. 
x⁵⁰ is willekeurig gekozen
Ik denk aan ombouwen van de expressie zodat een vorm ontstaat waarvan de reeks wel bekend is.

[Professor Puntje]

Probeer eerst eens of je a₀ kunt vinden, dan of je met behulp van a₀ ook a₁ kunt vinden, dan of je met behulp van a₀ en a₁ ook a₂ kunt vinden, enz.

[ukster]

Je bedoelt a₀ van de (macht)reeks van (x-3)/(x²-3x+2) ....maar ik zou niet weten hoe......
Nu even naar Schiphol heen en weer

[TD]

Ik ga ervan uit dat je dus de reeksontwikkeling rond x = 0 bedoelt. Splits in partieelbreuken:
 

\(\frac{x-3}{x^2-3x+2}=\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x-2}=-2\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{x}{2}}\)

 
Je hebt nu twee standaardreeksen (meetkundig):
 

\(-2\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{x}{2}}=-2\sum_{n=0}^{\infty}x^n+\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{2}\right)^n\)

 
Neem de term horend bij n = 50 voor de coëfficiënt van x⁵⁰, je krijgt:
 

\(-2+\frac{1}{2}\frac{1}{2^{50}}=-2+\frac{1}{2^{51}}=-\frac{4503599627370495}{2251799813685248}\)

 
en dat blijkt (controle) correct.

[Professor Puntje]

@ TD
 
Slim, en veel sneller dan mijn methode.

[ukster]

Strakke oplossing! da's duidelijk.
Het ontbrak mij aan het paraat hebben van de (benodigde) inzichten en vaardigheden 8-[
 
Bij de volgende reeks kom ik uit op een (fout) antwoord.
 
Vind de coëfficiënt van x⁶² van de expressie (1+x⁵ +x⁷)²⁰  
 
Ik zou zeggen: 62 = 4x5+6x7  (x⁶² = x⁵x⁵x⁵x⁵x⁷x⁷x⁷x⁷x⁷x⁷)
x⁵x⁵x⁵x⁵ kan op 20C4= 4845 manieren geselecteerd worden uit 20 multicands
x⁷x⁷x⁷x⁷x⁷x⁷ kan op 16C6= 8008 manieren geselecteerd worden uit de overige 16 multicands
De binominaalcoefficient van x⁶² is dan 4845 x 8008 = 38798760 (Het juiste antwoord is 40310400)
Wat doe ik hier fout?