Juist of foutstellingen vectorruimen

[Wiskundeblunder]

Stelling 1) De verzameling van oplossingen van y" - y=0 is een vectorruimte met basis {e1, e2}
 
Ik heb via de karakteristieke vgl de wortels bepaald en deze zijn 1 en -1. De AO is dus: c1.e^-1+ c2.e^1, maar ik weet niet hoe ik dit kan linken aan de vraag.
 
Stelling 2) A met eigenwaarde verschillend van nul en de eigenruimte behorende bij deze eigenwaarde is de kern van |A-eigenwaarde I(n)|
 
Ik weet dat de eigenruimte behorende bij eigenwaarde nul de kern van A vormt. Bij een eigenwaarde verschillend van nul bereken je via deze determinantnotatie de eigenvectoren die de eigenruimte opspannen behorende bij die eigenwaarde. Ik denk dat deze stelling juist is?

[TD]

Stelling 1) De verzameling van oplossingen van y" - y=0 is een vectorruimte met basis {e1, e2}

 

Ik heb via de karakteristieke vgl de wortels bepaald en deze zijn 1 en -1. De AO is dus: c1.e^-1+ c2.e^1, maar ik weet niet hoe ik dit kan linken aan de vraag.

De oplossingenverzameling van een homogene, lineaire differentiaalvergelijking vormt altijd een vectorruimte; hier met basis {e^x,e^-x}. Wat zijn e₁ en e₂? Vaak zijn dat de standaardvectoren in R², maar dat hangt van de notatie/conventie van de bron af.

 

Stelling 2) A met eigenwaarde verschillend van nul en de eigenruimte behorende bij deze eigenwaarde is de kern van |A-eigenwaarde I(n)|

 

Ik weet dat de eigenruimte behorende bij eigenwaarde nul de kern van A vormt. Bij een eigenwaarde verschillend van nul bereken je via deze determinantnotatie de eigenvectoren die de eigenruimte opspannen behorende bij die eigenwaarde. Ik denk dat deze stelling juist is?

Klopt: de eigenruimte van A horend bij eigenwaarde λ is de kern van A-λI.