Oplossing oef complexe getallen juist?

[Wiskundeblunder]

Klopt mijn uitwerking van deze opgave? Alvast bedankt!

[Bart23]

Het eerste deel kan nog korter:

\(\frac{12+3i}{12i-3}=\frac{12+3i}{i\cdot(12+3i)}=\frac{1}{i}=-i\)

[Wiskundeblunder]

Bedankt! Straks misschien nog wat oefeningen complexe getallen als je zin hebt

[Wiskundeblunder]

Heb een opgave die ik niet weet hoe ik hem moet opslossen.
 
z^6-3z^4+(5/2)z^2-1=0
 
daarvan moet ik alle wortels bepalen als gegeven is dat er een complexe wortel is waarvan HET KWADRAAT een modulus gelijk aan vkw(2)/2 heeft

[Bart23]

Je kan de vgl zo oplossen:
Stel Z=z²
Dan krijg je de vgl

\(Z^3-3Z^2+5/2Z-1=0\)

Die heeft een eenvoudige oplossing: 2.
Ontbinden geeft

\((Z-2)(Z^2-Z+1/2)=0\)

De andere oplossingen zijn

\(\frac{1\pm i}{2}\)

Nu moet je alleen nog de vierkantswortels bepalen om de oorspronkelijke vgl op te lossen

[Wiskundeblunder]

Bedankt maar ik denk dat we deze moeten oplossen aan de hand van de theorie, gezien in jouw methode het gegeven dat het kwadraat van de modulus van een van de wortels gelijk is aan vkw(2)/2. Jouw methode is via Horner? Deze mogen we niet gebruiken.  Misschien goniometrisch?

[Bart23]

OK, dan zelfde redenering tot

\(Z^3-3Z^2+5/2Z-1=0\)

Er moet dus een oplossing

\((z^2=)Z=\frac{\sqrt{2}}{2}(cos\phi+i\sin\phi)\)

zijn.
Vul dit in in de vergelijking, en pas vervolgens de formule van de Moivre toe

(dus

\((cos\phi+i\sin\phi)^n=\cos n\phi+i\sin n\phi\)

)
Je krijgt:

\(\frac{\sqrt{2}}{4}(\cos 3\phi+i\sin 3\phi)-\frac{3}{2}(\cos 2\phi+i\sin 2\phi)+\frac{5\sqrt{2}}{4}(\cos\phi+i\sin\phi)-1=0\)

Dan moeten de reële en imaginaire delen ook beide nul zijn. Bekijk het imaginaire deel:

\(\frac{\sqrt{2}}{4}\sin3\phi-3/2\sin2\phi+\frac{5\sqrt{2}}{4}\sin\phi=0\)

Pas nu verdubbelings- en verdrievoudigingsformules toe:

\(\frac{\sqrt{2}}{4}(3\sin\phi-4\sin^3\phi)-3\sin\phi\cos\phi+\frac{5\sqrt{2}}{4}\sin\phi=0\)

Zonder factor sin af, en gebruik de grondformule om te komen tot:

\(\sin\phi(\sqrt{2}\cos^2\phi-3\cos\phi+\sqrt{2})=0\)

De eerste factor kan niet nul worden (immers +/-sqrt(2)/2 is geen oplossing)
De tweede factor geeft een vierkantsvergelijking moet oplossing wortel 2 (kan niet voor cos) en vkw(2)/2.
Dan is

\(\phi=\pm \frac{\pi}{4}\)

Deze oplossing voldoet ook aan de vergelijking van de reële delen
Je kent dus nu 2 (niet-reële) oplossingen van de 3 (nl.

\(\frac{\sqrt{2}}{2}(cos(\pm\frac{\pi}{4})+i\sin(\pm\frac{\pi}{4}))=\frac{1\pm i}{2}\)

), de derde  (reële) volgt direct door ontbinding.
Nu nog de vierkantswortels bepalen.