Hyperbool: grafische interpretatie van b

[dannypje]

Als ik de formule van een ellips afleid, kan ik makkelijk inzien dat a^2=b^2+c^2, waarbij 2c de afstand tussen de 2 brandpunten is, 2a de som van de afstanden tot elk van de brandpunten van een punt op de omtrek.
En als ik het bovenste punt van de ellips kies, kan ik dus stellen dat b de halve hoogte van de ellips is.
 
Maar als ik de formule voor een hyperbool probeer af te leiden, wordt daar gesteld dat 2c opnieuw de afstand is tussen de 2 brandpunten, maar dat 2a het verschil is van de afstanden van een punt tot elk van de brandpunten. In de afleiding wordt dan op zeker moment gesteld dat c^2=a^2+b^2.
 
Hoe moet ik mij b hierbij grafisch voorstellen ? (zie ook bijlagen)

[Bart23]

De rechthoek gevormd door de snijpunten van de 2 topraaklijnen en de 2 asymptoten, ook wel de assenrechthoek genoemd, heeft als hoekpunten:

\( (\pm a,\pm b)\)

Het getal c kan je ook interpreteren als de lengte van de halve diagonaal.

[dannypje]

Bedankt Bart,
 
dat zou dan betekenen dat als ik mijn passerpunt in de oorsprong zet, en 1 van de hoeken van de rechthoek afpas, en die afstand overbreng naar de x-as, dat het snijpunt van die cirkelboog met de x-as dan 1 van de brandpunten van de hyperbool is.
Valt zoiets te bewijzen ? (of beter, het zal wel zo zijn, maar hoe toon ik dat aan ?)
 
grtz
D

[Bart23]

Dat klopt, de cirkel die je tekent zal zelfs ook door het andere brandpunt gaan.

Veel valt er niet te bewijzen, want a²+b²=c², en je vindt vast een rechthoekige driehoek in de figuur met rechthoekszijden a en b;-)

[dannypje]

Ja tuurlijk, maar wat ik bedoelde is, bewijzen dat als ik vanuit a een verticale trek die de schuine asymptoot snijdt en dat snijpunt overbreng met een passer naar de x-as, dat ik dan in het brandpunt van de hyperbool terecht kom

[Bart23]

Ja, want de halve diagonaal heeft lengte c (want a²+b²=c²) en de afstand van een brandpunt tot de oorsprong is ook c (per definitie).

[dannypje]

OK, per definitie dus. Bedankt, Bart !