Moeilijke stap in bewijs

[Professor Puntje]

De onderstaande stap in een afleiding kan ik vooralsnog niet volgen:

stap 658 keer bekeken

Wie ziet er wat hier gebeurt?
 
(Voor achtergronden zie dit topic berichtjes 29 en verder.)
 

[Professor Puntje]

\( \frac{nt}{\cos r} + t \tan i \sin i - t \tan r \sin i - n t - \frac{t}{\cos i} + t = \frac{N \lambda}{2} \)

 

\( \frac{n}{\cos r} + \tan i \sin i - \tan r \sin i - n - \frac{1}{\cos i} + 1 = \frac{N \lambda}{2 t} \)

 

\( n \frac{\sin^2 r + \cos^2 r}{\cos r} + \tan i \sin i - \tan r \sin i - n - \frac{\sin^2 i + \cos^2 i}{\cos i} + 1 = \frac{N \lambda}{2 t} \)

 

\( n \tan r \sin r + n \cos r + \tan i \sin i - \tan r \sin i - n - \tan i \sin i - \cos i + 1 = \frac{N \lambda}{2 t} \)

 

\( n \tan r \sin r + n \cos r - \tan r \sin i - n - \cos i + 1 = \frac{N \lambda}{2 t} \)

 

\( n \tan r \sin r + n \cos r - \tan r \sin i - n + (1 - \cos i) = \frac{N \lambda}{2 t} \)

 

\( \frac{\sin i}{\sin r} \tan r \sin r + n \cos r - \tan r \sin i - n + (1 - \cos i) = \frac{N \lambda}{2 t} \)

 

\( \sin i \tan r + n \cos r - \tan r \sin i - n + (1 - \cos i) = \frac{N \lambda}{2 t} \)

 

\( n \cos r - n + (1 - \cos i) = \frac{N \lambda}{2 t} \)

 

\( n \cos r = n - (1 - \cos i) + \frac{N \lambda}{2 t} \)

 

\( n^2 \cos^2 r = \left ( n - (1 - \cos i) + \frac{N \lambda}{2 t} \right )^2 \)

 

\( n^2 (1 - \sin^2 r) = \left ( n - (1 - \cos i) + \frac{N \lambda}{2 t} \right )^2 \)

 

\( n^2 \left (1 - \frac{\sin^2 i}{n^2} \right ) = \left ( n - (1 - \cos i) + \frac{N \lambda}{2 t} \right )^2 \)

 

\( n^2 - \sin^2 i = \left ( n - (1 - \cos i) + \frac{N \lambda}{2 t} \right )^2 \)

 

\( \begin{array} \, n^2 - \sin^2 i \\ = \\ n^2 - n (1 - \cos i) + n \frac{N \lambda}{2 t} \\ + \\ -n (1 - \cos i) + (1 - \cos i )^2 - (1 - \cos i) \frac{N \lambda}{2 t} \, \\ + \\ \, n \frac{N \lambda}{2 t} - (1 - \cos i) \frac{N \lambda}{2 t} + \frac{N^2 \lambda^2}{4 t^2} \, \end{array} \)

 

\( - \sin^2 i = - 2n (1 - \cos i) + 2n \frac{N \lambda}{2 t} + (1 - 2 \cos i + \cos^2 i) - 2(1 - \cos i) \frac{N \lambda}{2 t} + \frac{N^2 \lambda^2}{4 t^2} \)

 

\( 0 = - 2n (1 - \cos i) + 2n \frac{N \lambda}{2 t} + (1 - 2 \cos i + \cos^2 i + \sin^2 i) - 2(1 - \cos i) \frac{N \lambda}{2 t} + \frac{N^2 \lambda^2}{4 t^2} \)

 

\( 0 = - 2n (1 - \cos i) + 2n \frac{N \lambda}{2 t} + (2 - 2 \cos i ) - 2(1 - \cos i) \frac{N \lambda}{2 t} + \frac{N^2 \lambda^2}{4 t^2} \)

 

\( 0 = - 2n (1 - \cos i) + n \frac{N \lambda}{t} + (2 - 2 \cos i ) - (1 - \cos i) \frac{N \lambda}{t} + \frac{N^2 \lambda^2}{4 t^2} \)

 

\( 0 = - n (1 - \cos i) 2t + n N \lambda + (1 - \cos i ) 2t - (1 - \cos i) N \lambda + \frac{N^2 \lambda^2}{4 t} \)

 

\( n (1 - \cos i) 2t - n N \lambda = 2t (1 - \cos i ) - N \lambda (1 - \cos i ) + \frac{N^2 \lambda^2}{4 t} \)

 

\( n [(1 - \cos i) 2t - N \lambda ] = (2t - N \lambda)(1 - \cos i) + \frac{N^2 \lambda^2}{4 t} \)

 
 
Zo - dat was een hele bevalling!
 

[Michel Uphoff]

Ja.. Daar was ik nooit uitgekomen.

[Professor Puntje]

Tijdens mijn dagelijkse meditatie kreeg ik gisteren ineens de inval om 1/cos via sin^2 + cos^2 = 1 in de teller om te werken. Daarom heb ik het nog eens geprobeerd, en toen er ook nog termen tegen elkaar wegvielen kreeg ik er weer vertrouwen in. Op zich was het geen hogere wiskunde, maar door het grote aantal kunstgrepen dat je onderweg moet toepassen lijkt de onderste vergelijking nauwelijks meer op de bovenste. Daarom had ik ook mijn twijfels of de formule wel klopte. Aan de andere kant zijn formules in op het oog degelijke leerboeken meestal wel correct. Dat was weer een hele belevenis!