Is dit een continue functie?

[Professor Puntje]

Is onderstaande functie continu?
 

\( f(x) = \sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} \mbox{sinc}(\pi \cdot (x - i \cdot j) ) \)

 
Hierin is "sinc" de sinus cardinalis functie.
 

[ukster]

Is hier misschien iets uit af te leiden?

continu 2142 keer bekeken

[Professor Puntje]

Dank! Een echt bewijs is het nog niet, maar het ziet er al wel hoopvol uit.

[Professor Puntje]

@ ukster

 

Mijn vermoeden is dat als het op een relatief klein interval goed gaat, dat het dan overal wel goed zal gaan. Wat zijn de maximale N en M waarvoor je onderstaande functie voor 0 ≤ x ≤ 10 kunt plotten? En kun je ook zien of de grafiek op dat interval voor grote N en M ergens naar nadert?
 

\( f(x) = \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^M \mbox{sinc}(\pi \cdot (x - i \cdot j) ) \)

[ukster]

Functie

(162.67 KiB) 108 keer gedownload

wie het ziet mag het zeggen...
Het lijkt erop dat de amplitude steeds iets toeneemt en wellicht ergens naar nadert
Dit is niet te beoordelen op dit interval
Ik heb de simulatie N=1000,M=1000 na 45 minuten afgebroken,de pc zag het niet meer zitten :eusa_sick:
 

[Professor Puntje]

In elk geval bedankt voor de inspanningen. Het is inderdaad moeilijk te zien of dat voor N, M -> ∞ naar een continue grafiek nadert...

[Professor Puntje]

Mogelijk kunnen we hier iets mee?
 
https://en.wikipedia.org/wiki/Whittaker%E2%80%93Shannon_interpolation_formula

[OOOVincentOOO]

Beste,
 
Erg leuke aanpak. Ik zou zelf hetvolgende tweaken.
 
Vermenigvuldig met 2pi. Hierdoor zullen de waarden voor de secundaire golven nul zijn. Zie plaatje en formule.
 
Dan heb je een redelijk nette beschrijving. Kleine opmerking is wel: op punten waar de functie 1 is krijg je links en rechts flanken. De lokale maxima van de vergelijking is dan niet het resultaat van de Divisor functie. Echter, voor integers klopt het als een bus zover ik kann zien. Als je tenminste een divisorfunctie will maken.
 
Ik heb ook de sommatie N gestart op i=2. De unity golf is niet zo belangrijk. Je kunt altijd nog een (1) optellen bij de uitkomst. Dan hoef je geen rare fratsen uit te halen.
 

\(
f(x) = \sum_{i=2}^N \sum_{j=1}^M \mbox{sinc}(2 \pi \cdot (x - i \cdot j) )
\)

 
Interessant is dat je de sinc kunt vervangen door een taylor reeks. Dan kan je alles als een sommatie reeks beschrijven.
 
Ook interessant is de eigenschap van de Fourier transformatie. Dan krijg je volgens mijn weten een discrete vergeljiking met Intervallen. 
 
Als we het hebben over een Divisor functie.
 
- Dan zie je dat de Divisor functie wederom omschreven kan worden door een continue periodieke golffunctie. Als tegenhanger van de discrete formulaties.
 
Ik zou het tof vinden als de natuur zich op getallen niveau gedraagt zoals deeltjes fysica. Maar ja wie ben ik! Dan heb je echte power wiskunde nodig om dit uberhaubt te bewijzen wat ik niet bezit.
 
Gr,
 
Vince
 

[Professor Puntje]

Misschien kan het inderdaad nog fraaier. Maar om te beginnen:
 
- Waarom vermenigvuldigen met 2π in plaats van met π? Met π heb je toch ook al dat we voor x = i.j de waarde "1" vinden en voor alle andere gehele getallen x de waarde "0"?

[OOOVincentOOO]

ohhh. inderdaad. Iets te snel geweest in mijn coffeebreak.Pure intuitieve ingeving!
 
Snijpunten verdubbeld bedoel ik.
 
Pulse breedte is alleen iets smaller bij 2pi.
 
Even plotjes toegevoegd. Sum plot is van j -> 52 pulses.
 
 
 
 

[OOOVincentOOO]

Hall,
 
Ik heb nog vlot een plotje gemaakt van de functie tot 24. Ik zal verder niet Meer storen!
 
 
 

[Professor Puntje]

Zoals je begrepen zult hebben is dit topic geïnspireerd door jouw onderzoekingen, dus je hebt wat mij aangaat het volste recht hier te posten.

[Professor Puntje]

Ik heb de vraag naar de continuïteit nu ook op Reddit gesteld:
 
https://www.reddit.com/r/learnmath/comments/9r016v/is_this_a_continuous_function/

[Emveedee]

Misschien is het makkelijker om eerst te kijken of

\(\sum\limits_{i=1}^\infty \text{sinc} \left(\pi (x-i) \right)\)

continu is?
 
Dat kun je daarna uitbreiden naar:

\(\sum\limits_{i=1}^\infty a_i \text{sinc} \left(\pi (x-i) \right)\)

met

\(a_i\)

het 'aantal pulsen' dat je hebt bij een bepaalde waarde voor ij.
 
Bijv:
a_1 = 1 (1*1)
a_2 = 2 (2*1, 1*2)
a_3 = 2 (3*1, 1*3)
a_4 = 3 (1*4, 2*2, 4*1)
a_5 = 2
etc.

[Professor Puntje]

Misschien is het makkelijker om eerst te kijken of

\(\sum\limits_{i=1}^\infty \text{sinc} \left(\pi (x-i) \right)\)

continu is?

 
Volgens dit zou dat continu moeten zijn.