polaire coordinaten

[ukster]

Bepaal de oppervlakte van een blad.

r=cos(3theta) 1388 keer bekeken

dA 1388 keer bekeken

Is dit de enige manier van oplossen?

dubbele integraal 1388 keer bekeken

,met dA=r.dr.dθ
 

[CoenCo]

Nee dat is niet de enige methode, (maar wel de handigste).
Je kan ook de grens omschrijven naar xy-coordinaten en dan over x en y integreren.
 
Als je beide hebt gedaan, zal je zien dat poolcoordinaten voor sommige problemen best handig zijn.

[ukster]

oppervlakte blad berekenen.
De rechtse figuur is volgens mij de presentatie van de horizontale lob in het x-y assenstelsel. De oppervlakte hiervan is 2/3

Polar vs Cartesian 1387 keer bekeken

oppervlakte 1387 keer bekeken

?
 
De dubbele integraal geeft π/12 als uitkomst voor de oppervlakte van de horizontale lob in de linker figuur.
 
Ik zie even niet waarmee ik in de fout ga.

[CoenCo]

Maar die rechter figuur is duidelijk niet dezelfde als de linker.

Je plot y=cos(3x)

Maar je moet het stelsel:

y=sin(t)*r = sin(t) * cos(3t)

x=cos(t)*r = cos(t) * cos(3t)

Plotten voor t=-pi/6..pi/6

Bij nader inzien is dat nog niet zo makkelijk om te zetten zodat y een functie van x wordt.

[ukster]

zou dit dan hetzelfde opleveren?

cartesian 1387 keer bekeken

en wat is dan x1,x2 en y1,y2?
zo dus?

cartesian 1387 keer bekeken

dat geeft geen π/12 !

[TD]

In poolcoördinaten wordt de oppervlakte gegeven door
 

\(\int\frac{r^2}{2}\,\mbox{d}t\)

 
Dus hier, voor één blad horend bij het interval [-pi/6,pi/6], geeft dat:
 

\(\int_{-\tfrac{\pi}{6}}^{\tfrac{\pi}{6}}\frac{\cos^2(3t)}{2}\,\mbox{d}t=\ldots=\frac{\pi}{12}\)

[ukster]

Ach natuurlijk. deze integraal komt dus vanuit de dubbele integraal.

oppervlakte 1387 keer bekeken