Niet-reflexief en anti-reflexief

[Jackshirak]

Kan iemand alstublieft het verschil uitleggen tussen deze twee? Bedankt

[mathfreak]

Laat R een relatie zijn, dan is R antireflexief als voor alle elementen a geldt dat (a,a) niet tot R behoort. R is niet-reflexief als er minstens 1 a is waarvoor dit geldt. Het verschil zit hem dus in het gebruik van de universele kwantor bij het geval van antireflexiviteit en het gebruik van de existentiële kwantor bij het geval van niet-reflexiviteit.

[Jackshirak]

Laat R een relatie zijn, dan is R antireflexief als voor alle elementen a geldt dat (a,a) niet tot R behoort. R is niet-reflexief als er minstens 1 a is waarvoor dit geldt. Het verschil zit hem dus in het gebruik van de universele kwantor bij het geval van antireflexiviteit en het gebruik van de existentiële kwantor bij het geval van niet-reflexiviteit.

Dus < is niet-reflexief en anti-reflexief, want 2 is bijvoorbeeld niet kleiner dan 2( niet-reflexief) en alle andere zijn ook zo dus (anti-reflexief)?

[mathfreak]

Dus < is niet-reflexief en anti-reflexief, want 2 is bijvoorbeeld niet kleiner dan 2( niet-reflexief) en alle andere zijn ook zo dus (anti-reflexief)?

Nee, < is een anti-reflexieve relatie. Ga nog eens zorgvuldig het verschil tussen de universele en de existentiële kwantor na en kijk eens welke kwantor bij de definitie van een anti-reflexieve relatie en welke kwantor bij de definitie van een niet-reflexieve relatie gebruikt wordt.

[Jackshirak]

Nee, < is een anti-reflexieve relatie. Ga nog eens zorgvuldig het verschil tussen de universele en de existentiële kwantor na en kijk eens welke kwantor bij de definitie van een anti-reflexieve relatie en welke kwantor bij de definitie van een niet-reflexieve relatie gebruikt wordt.

Ik zei toch dat het anti-reflexief is?

[mathfreak]

Ik zei toch dat het anti-reflexief is?

Je zei dat < ook niet-reflexief is, en dat klopt niet. Een relatie kan nooit tegelijk anti-reflexief en niet-reflexief zijn.

[Jackshirak]

Je zei dat < ook niet-reflexief is, en dat klopt niet. Een relatie kan nooit tegelijk anti-reflexief en niet-reflexief zijn.

Je zei toch net als er minstens 1 element is dan is het niet-reflexief. Als het voor alle elementen zo is, dan is er toch ook minstens 1 element waar het zo is?

[mathfreak]

Je zei toch net als er minstens 1 element is dan is het niet-reflexief. Als het voor alle elementen zo is, dan is er toch ook minstens 1 element waar het zo is?

Even de formele definities met behulp van kwantoren:
R is anti-reflexief als

\(\forall_a[(a,a)\notin R]\)

R is niet-reflexief als

\(\exists_a[(a,a)\notin R]\)

In het pijldiagram van een anti-reflexieve relatie is er geen enkel punt dat via een lus met zichzelf verbonden is. Bij een niet-reflexieve relatie heb je punten die wel via een lus met zichzelf verbonden zijn, maar ook minstens 1 punt waarbij dat niet zo is, vandaar dus de universele kwantor bij de definitie van een anti-reflexieve relatie en de existentiële  kwantor bij de definitie van een niet-reflexieve relatie.

[Math-E-Mad-X]

Bij een niet-reflexieve relatie heb je punten die wel via een lus met zichzelf verbonden zijn,

 
Waar haal je die definitie vandaan? Voor zover mij bekend wil niet-reflexief gewoon zeggen dat er minimaal één punt is dat niet met zichzelf verbonden is, en in het extreme geval kan het ook zo zijn dat er geen enkel punt met zichzelf verbonden is. Anti-reflexief is dus een speciaal geval van niet-reflexief, en Jackshirack heeft, voor zover ik weet, gelijk.
 
Overigens volgt dat ook gewoon uit je eigen definities met kwantoren die je hierboven geeft. De existentiele kwantor zegt alleen maar dat er minimaal één paar moet bestaan die aan de eis voldet, maar zegt niet dat er ook minimaal één ander paar moet bestaan die er niet aan voldoet (en daar ben ik wel 100% zeker van).

[Jackshirak]

 

Waar haal je die definitie vandaan? Voor zover mij bekend wil niet-reflexief gewoon zeggen dat er minimaal één punt is dat niet met zichzelf verbonden is, en in het extreme geval kan het ook zo zijn dat er geen enkel punt met zichzelf verbonden is. Anti-reflexief is dus een speciaal geval van niet-reflexief, en Jackshirack heeft, voor zover ik weet, gelijk.

 

Overigens volgt dat ook gewoon uit je eigen definities met kwantoren die je hierboven geeft. De existentiele kwantor zegt alleen maar dat er minimaal één paar moet bestaan die aan de eis voldet, maar zegt niet dat er ook minimaal één ander paar moet bestaan die er niet aan voldoet (en daar ben ik wel 100% zeker van).

Zeer bedankt.

[Jackshirak]

 

Waar haal je die definitie vandaan? Voor zover mij bekend wil niet-reflexief gewoon zeggen dat er minimaal één punt is dat niet met zichzelf verbonden is, en in het extreme geval kan het ook zo zijn dat er geen enkel punt met zichzelf verbonden is. Anti-reflexief is dus een speciaal geval van niet-reflexief, en Jackshirack heeft, voor zover ik weet, gelijk.

 

Overigens volgt dat ook gewoon uit je eigen definities met kwantoren die je hierboven geeft. De existentiele kwantor zegt alleen maar dat er minimaal één paar moet bestaan die aan de eis voldet, maar zegt niet dat er ook minimaal één ander paar moet bestaan die er niet aan voldoet (en daar ben ik wel 100% zeker van).

Zeer bedankt.

[mathfreak]

 
Waar haal je die definitie vandaan?

De beschrijving met behulp van het pijldiagram heb ik uit deel II van Johan Wansinks Didactische oriëntatie voor wiskundeleraren uit 1971. Boven het daar getekende pijldiagram staat: "In het pijldiagram is er minstens één punt waarbij geen lus staat". Ik heb al de formele definities gegeven met behulp van kwantoren, dus ik laat het hier verder bij.

[Math-E-Mad-X]

 Boven het daar getekende pijldiagram staat: "In het pijldiagram is er minstens één punt waarbij geen lus staat".

 
Maar dat was niet de kwestie. De kwestie was of er ook minstens een punt moet bestaan waarbij er wel een lus is.

[mathfreak]

 
Maar dat was niet de kwestie. De kwestie was of er ook minstens een punt moet bestaan waarbij er wel een lus is.

In het desbetreffende pijldiagram worden inderdaad een aantal punten aangegeven die wel een lus hebben. Het antwoord is dus ja.

[Math-E-Mad-X]

Dus jij concludeert dat er altijd minstens één punt moet bestaan waarbij er wel een lus is, op basis van één voorbeeld waarbij dat het geval is?