Tweede afgeleidde kritieke punt

[sant0hat]

Hieronder beschrijf ik de vraag, wat ik heb gedaan en waar ik vastloop.
 
Gegeven de volgende vergelijking:  f(x, y) = x⁴ − 6x²y²+ y⁴
 
Met de vraag:
Wat zijn de aard van de kritieke punten, (lokaal) max, min, zadelpunt? Als de tweede orde test geen uitsluitsel geeft,
bekijk dan f[x, x] en f[x, 0]
 
 
Nu heb ik de gradient van f(x,y) genomen;
df(x,y)/dx = 4x³ - 12xy²
df(x,y)/dy = 4y³ - 12x²y
 
waarna ik het kritieke punt (0,0) vond. Echter kom ik nu met de second derivative test op nul uit.
 
f_xxf_yy - f_xy² = 0.
 
Ik neem nu aan dat ik f[x, x] en f[x, 0] moet gebruiken?
 
f[x,x] = -4x⁴ en
f[x,0] = x⁴
Maar als ik hier weer de second derivative test op gebruik dan wordt dit beiden ook weer nul toch? 
 
f''(0) = -48 * (0)² = 0
f''(0) = 12 * (0)² = 0
Dus ook deze tweede orde test geeft geen uitsluitsel?

[TD]

Ik neem nu aan dat ik f[x, x] en f[x, 0] moet gebruiken?
 
f[x,x] = -4x⁴ en
f[x,0] = x⁴

 
Hiermee ben je er:
- volgens [x,0] vind je in x = 0 een minimum voor x⁴, dus ook in (x,y)=(0,0) volgens het pad [x,0];
- volgens [x,x] vind je in x = 0 een maximum voor -4x⁴, dus ook in (x,y)=(0,0) volgens het pad [x,x].
 
Het gaat dus om een zadelpunt.

[tempelier]

 
Hiermee ben je er:
- volgens [x,0] vind je in x = 0 een minimum voor x⁴, dus ook in (x,y)=(0,0) volgens het pad [x,0];
- volgens [x,x] vind je in x = 0 een maximum voor -4x⁴, dus ook in (x,y)=(0,0) volgens het pad [x,x].
 
Het gaat dus om een zadelpunt.

Ik dacht dat dat niet voldoende was.
 
Immers er zijn stationaire punten die hier ook aan voldoen, maar toch geen normaal zadelpunt zijn.

[TD]

Ik weet niet wat je bedoelt met "normaal zadelpunt", maar dat zal dan liggen aan de definitie van zadelpunt die jij hanteert (zie bv. hier); het is in elk geval geen extremum.

[tempelier]

Ik weet niet wat je bedoelt met "normaal zadelpunt", maar dat zal dan liggen aan de definitie van zadelpunt die jij hanteert (zie bv. hier); het is in elk geval geen extremum.

Een apenzadel zie ik niet als een normaal zadelpunt.
 
https://nl.wikipedia.org/wiki/Apenzadel
 
Ik vind de omschrijving daar niet zo best, maar hopelijk snap je waar ik op doel.
Hogere vormen van zadels hebben bij mijn weten geen naam.

[TD]

Ik vind de omschrijving daar niet zo best, maar hopelijk snap je waar ik op doel.

 
Nee, eigenlijk niet helemaal. Misschien ligt de verwarring in het onderscheid tussen soorten zadeloppervlak en een zadelpunt?

 

Een apenzadel zie ik niet als een normaal zadelpunt.

 

https://nl.wikipedia.org/wiki/Apenzadel

Hogere vormen van zadels hebben bij mijn weten geen naam.

 
Bedoel je dat een apenzadel voor jou geen normaal zadeloppervlak is? Dat kan ik me voorstellen, je kan verschillende soorten zadeloppervlakken classificeren. Maar in het 'midden' van dat apenzadel, bevindt zich wel een zadelpunt. Of welke definitie van zadelpunt ken/gebruik jij, waarbij dit geen zadelpunt zou zijn?
 
Zie ook Monkey Saddle:"The monkey saddle has a single stationary point as summarized in the table below. While the second derivative test is not sufficient to classify this stationary point, it turns out to be a saddle point."

[tempelier]

Voor mij is inderdaad alleen het paardenzadel een echt zadelpunt.
Maar men kan dan de andere natuurlijk ook wel zadel punten noemen, maar fraai vind ik het niet.
(helaas zijn wel meer namen in de wiskunde onlogisch gekozen)
 
Blijft over dat met jouw redenering het niet vast staat om wat voor zadelpunt het gaat.

[TD]

Voor mij is inderdaad alleen het paardenzadel een echt zadelpunt.

 
Oké, maar ik zou niet veronderstellen dat dat gangbaar is. Wat is voor jou dan de definitie van een zadelpunt?
 

Blijft over dat met jouw redenering het niet vast staat om wat voor zadelpunt het gaat.

 
Dat lijkt ook niet gevraagd:

 

Met de vraag:

Wat zijn de aard van de kritieke punten, (lokaal) max, min, zadelpunt? Als de tweede orde test geen uitsluitsel geeft