integratiegebied bepalen

[pinguin159]

Ik heb een bol met middelpunt (0;0;1) en een een kegel z=sqrt(x^2+y^2)
 
Ik wil het gebied onder de bol en boven de kegel bepalen m.b.v bolcoördinaten.
 
 

[TD]

Wat is de straal van de bol (mogelijk 1?) en wat bedoel je met onder de bol? Vermoedelijk binnen de bol?
 
Geef misschien even de bolcoördinaten zoals jullie ze gezien hebben, want de notaties verschillen van bron tot bron. Waar zit je vast met het bepalen van de grenzen?

[pinguin159]

De totale figuur ziet er uit als een ijsje dan wel een klein beetje uit proportie, een hoorntje en een halve bol. De halve bol bepalen lukt door de volgende integratie grenzen te nemen: 0 tot 2pi, 0 tot pi/2 en 0 tot 1. Dan de Jacobiaan niet vergeten en integreren. Nu hebben we het bolletje ijs maar hoe bepaal je het binnenste van het hoorntje (kegel?). 
 
De straal van de bol is inderdaad 1 en de z-as kan gezien worden als de centrale as. 

[TD]

Zo bereken je inderdaad een halve bol, als die het middelpunt in de oorsprong heeft. Uiteraard heeft de verschoven halve bol hetzelfde volume, maar dan moet je het andere deel apart uitrekenen. Handiger is om in bolcoördinaten (of cilindercoördinaten) het gevraagde volume in één keer uit te rekenen, met de bol op de plaats waar hij ligt (1 omhoog volgens z dus).
 
Op basis van een goede schets is het duidelijk dat de hoek in het xy-vlak (voor mij theta) nog steeds van 0 tot 2*pi zal lopen. De afstand rho (of r) moet van de oorsprong tot aan de bol lopen. In bolcoördinaten wordt de vergelijking van de bol met als cartesische vergelijking x²+y²+(z-1)² = 1:
 

\(\rho^2=2\rho\cos\phi\)

 
waaruit de bovengrens rho  = 2*cos(phi) volgt.
 
De hoek phi loopt duidelijk van 0 tot aan de kegel, maar die heeft in bolcoördinaten een constante hoek. Substitutie van de bolcoördinaten in de kegel geeft z = rho*sin(phi) en omdat z = rho*cos(phi) volgt uit sin(phi) = cos(phi) de hoek phi = pi/4.
 
Als alles goed gaat, zou je als volume een eenvoudig resultaat moeten vinden .

[pinguin159]

Ik begrijp de verklaring voor de bovengrens niet zo goed bij de hoek kan ik volgen. 

[TD]

De bovengrens van rho, bedoel je? Die moet lopen tot aan de bol en daarvoor geldt:
 

\(x^2+y^2+(z-1)^2=1 \iff x^2+y^2+z^2-2z+1=1\)

 
En dus in bolcoördinaten:
 

\(\underbrace{x^2+y^2+z^2}_{\rho^2}-2\underbrace{z}_{\rho\cos\phi}=0 \iff \rho^2=2\rho\cos\phi\)

[pinguin159]

pi?

[TD]

Klopt!

[pinguin159]

Als ik de inhoud van de kegel neem met de formuel dus 1/3 * oppervlakte grondvlak * h kom ik pi/3 uit. 1/3 * 1pi . * 1 hoe kan ik dan pi uitkomen bij de integratie. 
 
Aangezien de drievoudige integraal van het integratiegebied ook overeenkomt met de inhoud. 

[TD]

Je schrijft "de kegel", maar welke kegel bedoel je...? Op basis van de maten die je invult, veronderstel ik een kegel met de eenheidscirkel als grondvlak en hoogte 1. Het is dan wel handig om dat te vermelden, of te verduidelijken welke kegel je bedoelt.
 
In wat voor coördinaten wil je het volume via integratie bepalen? Ken je de (een) vergelijking voor een dergelijke kegel?

[pinguin159]

Ik bedoel dezelfde kegel die we hebben bepaald door middel van integratie we komen daar pi uit maar als je de formule voor de inhoud neemt komen we pi/3.

[TD]

Nee, we vonden pi als volume van het "horentje met ijsje": binnen de bol en boven de kegel. Het (recht afgesneden) deel kegel heeft volume pi/3 en de halve bol erbovenop heeft volume 2*pi/3, want de helft van een eenheidsbol; samen netjes pi.

[pinguin159]

Ok duidelijk dank je !!