De wiskunde van FM

[Professor Puntje]

Op de Nederlandse en Engelse Wikipedia staan op het oog verschillende formules voor een in frequentie gemoduleerd signaal:
 
https://nl.wikipedia.org/wiki/Frequentiemodulatie#Principe
 
https://en.wikipedia.org/wiki/Frequency_modulation#Theory
 
Wat is de juiste uitdrukking?

[Xilvo]

Na even kort gekeken te hebben is volgens mij die in de Nederlandse correct:
 
u = A.sin(2.π.(f₀ + m.y_t).t)
 
In de Engels versie zou een constante waarde van het modulerende signaal niet een constante frequentieverschuiving geven maar een constante faseverschuiving: 
 
u = A.sin(2.π.f₀.t + m.y_t)
 
y_t is het modulerende, het te verzenden signaal.
 
(Ik had de formules uit Wikipedia gekopieerd maar die kon ik niet plaatsen. Hierboven niet de exacte formules maar de essentie)

[ukster]

Frequentiemodulatie(FM) en Fasemodulatie(PM) zijn beide een vorm van hoekmodulatie(HM)
Lang geleden heb ik dit eens samengevat

PM_FM

(150.32 KiB) 169 keer gedownload

Misschien kun je er wat mee.
 
 

[Professor Puntje]

In de Engels versie zou een constante waarde van het modulerende signaal niet een constante frequentieverschuiving geven maar een constante faseverschuiving: 
 
u = A.sin(2.π.f₀.t + m.y_t)
 
y_t is het modulerende, het te verzenden signaal.

 
Is dat wel zo?

Frequentiemodulatie(FM) en Fasemodulatie(PM) zijn beide een vorm van hoekmodulatie(HM)
Lang geleden heb ik dit eens samengevat PM_FM.pdf
Misschien kun je er wat mee.

 
En wat krijg je in het algemene geval waarbij je met een willekeurig signaal moduleert?

[Xilvo]

 
Is dat wel zo?

 
u = A.sin(2.π.f₀.t + m.y_t)
 
Als y_t niet verandert krijg je met m.y_t = φ
 
u = A.sin(2.π.f₀.t + φ), dat is A.sin(2.π.f₀.t ) verschoven over een hoek φ. Zelfde frequentie, ander fase.

Misschien kun je er wat mee.

 
Jazeker.

[Professor Puntje]

Waar blijft de integraal?

[Xilvo]

Waar blijft de integraal?

 
Geen idee. Ben het nu aan het lezen.
 
u = A.sin(2.π.f₀.t + m.y_t) is een vereenvoudigde vorm van de tweede formule onder het kopje "Sinusoidal baseband signal" in de Engelse Wikipedia.
Met f₀ de frequentie van het ongemoduleerde signaal, y_t = C. sin(2.π.f_m.t) het modulerende signaal.

[Professor Puntje]

Het gaat mij om de formule voor FM-modulatie bij een willekeurig modulerend signaal.

[Xilvo]

Daar moet het ook voor gelden maar een sinusvormig modulerend signaal is een eenvoudig en makkelijk te overzien voorbeeld.

[Xilvo]

Ik ben er nog mee bezig. Mogelijk is de Nederlandse Wikipedia niet helemaal correct, de Engelse is erg onduidelijk met een integraal die zo maar uit de lucht komt vallen.
 
De Duitse WikiPedia:
https://de.wikipedia.org/wiki/Frequenzmodulation
en uksters pdf lijken me beide betrouwbaar en duidelijker.

[Professor Puntje]

Het zou wel erg vreemd zijn als er in de definitie van FM een integraal wordt geïntroduceerd terwijl dat eigenlijk onnodig is...

[Xilvo]

Waarschijnlijk is die ook niet onnodig. Ben bezig te proberen de zaak wat beter te doorzien. 

[Professor Puntje]

Dat Duitse Wikipedia-artikel ziet er inderdaad al veel beter uit.

[ukster]

Dit is een simulatie van het demodulatieproces van een 2V/1kHz signaal uit het FM-signaal met behulp van een PLL-systeem.
Je ziet hierin mooi het vangen en inlopen van de PLL

FM demodulator met PLL

(207.48 KiB) 127 keer gedownload

Ik zou me er weer helemaal in moeten verdiepen om de precieze werking ervan te doorgronden
 

FM signaal 2711 keer bekeken

[Xilvo]

Ik begin ondertussen beter te begrijpen waar die integraal vandaan komt, voor nodig is.
 
Een draaggolf is een sinusvormig signaal met een frequentie f₀. De fase verandert voortdurend en gelijkmatig in de tijd, d 2.π,f₀.t / dt = 2.π,f₀
 
Nu wil ik die FM moduleren, en wel met een blokgolf, m = +1 of m=-1. De frequentie is dan f₀ + m.f_x , met f_x een zekere waarde voor de frquentiezwaai. 
 
Als ik zou gebruiken s(t) = A.sin(2.π.(f₀ +m. f_x).t), dan is de fase 2.π.(f₀ +m. f_x)
De faseverandering bij springen van hoog naar laag en vice versa is dan discontinu, en kan zelfs negatief zijn.
 
De trilling van de draaggolf verandert wel in frequentie als het modulerende signaal van waarde verandert maar gaat wel door 'waar die was', op dat moment. In ander woorden, de fase verandert niet, nooit, discontinu.
 
Om te weten 'waar die was' moet je integreren tot dat punt.