Berekening van volume

[Bagration]

Hallo!!

Met onderstaand vraagstuk zit ik vast en weet ik niet hoe ik hier aan moet beginnen:


Volume via integralen:

Door het wentelen van de functie

Schermafbeelding 2019-07-19 om 19 4893 keer bekeken

tussen 0 en r rond de x-as ontstaat er een omwentelingsvolume.

Wat is het volume in m^3 als de eenheid van de assen wordt uitgedrukt in meter? Het omwentelingsvolume kan men berekenen met de integraal:

Schermafbeelding 2019-07-19 om 19 4893 keer bekeken

Volgende (beginnende) stelling heb ik gevonden maar weet niet of dit correct is:

Wanneer men een willekeurige waarde neemt op de x-as (functie op de x-as tussen 0 en 3), projecteert men op de y-as met de functie sin(3-x) en -sin(3-x). Ik denk dat dit de grenzen van de integraal zijn (maar weet niet of dit correct is).

Alvast enorm bedankt voor de moeite!!

[mathfreak]

Het omwentelingsvolume kan men berekenen met de integraal ∫rf²(x)dx

Dat klopt niet. De gezochte integraal ziet er uit als

\(\pi\int_0^r\left(\frac{2\sin x}{r^2}\right)^2dx=\frac{4\pi}{r^4}\int_0^r \sin^2xdx\)

Maak vervolgens gebruik van het feit dat sin²x = ½-½cos 2x om de integraal uit te werken.

[Bagration]

Hoi mathfreak!!

Bedankt voor het snelle antwoord!! In de opgave staat immers de integraal

Schermafbeelding 2019-07-20 om 15 4703 keer bekeken

het verloop van deze functie heb ik zelf gevonden. Kan het zijn dat het (zelf gevonden) verloop op de grafiek niet correct is i.p.v. de integraal?

Alvast enorm bedankt!!

[Bagration]

Zou iemand mij hierbij kunnen helpen?

[Xilvo]

Er is niets fout aan wat mathfreak schrijft. Maar misschien begrijpt hij het vraagstuk niet zoals het bedoeld is - ik vind het in ieder geval erg onduidelijk.

Loopt x nu van 0 tot r, of niet? Ik vind het vreemd dat het interval op de x-as als waarde voorkomt in de functie.

Kun je misschien het originele vraagstuk plaatsen?

[Bagration]

Hallo!!

Het is inderdaad wat verwarend, mijn excuses hiervoor. Hierondonder heb ik alvast het oorspronkelijke vraagstuk gezet:

Door het wentelen van de functie

Schermafbeelding 2019-07-19 om 19 4278 keer bekeken

tussen 0 en r rond de x-as ontstaat er een omwentelingsvolume.

Wat is het volume in m^3 als de eenheid van de assen wordt uitgedrukt in meter?

TIP: Het omwentelingsvolume kan men berekenen met de integraal:

Schermafbeelding 2019-07-19 om 19 4278 keer bekeken

[Xilvo]

Kun je een kopie plaatsen? Weet je zeker dat die 'r' na het integraalteken niet 'π' is?

[Bagration]

Mijn excuses!! Het is inderdaad π. Had dit verkeerd ingezien.

Als men nu met π werkt, hoe berekent men het volume dan? : )

[Xilvo]

Zoals mathfreak aangeeft. Hij heeft π al voor het integraalteken gezet, omdat dit een constante is.

Je hebt een functie f(x). Bij een zekere x is de functiewaarde f(x).
Vervolgens wentel je die om de x-as. Dan heb je een schijf met oppervlak π.straal²= π.f(x)²
Vervolgens geef je die schijf een dikte dx. Het volume wordt π.f(x)².dx.

Integreren hiervan geeft het totale volume.

[Bagration]

Alvast enorm bedankt Xilvo en mathfreak, deze uitleg heeft me al heel wat geholpen.

De gezochte integraal ziet er uit als

\(\pi\int_0^r\left(\frac{2\sin x}{r^2}\right)^2dx=\frac{4\pi}{r^4}\int_0^r \sin^2xdx\)

. Maak vervolgens gebruik van het feit dat sin²x = ½-½cos 2x om de integraal uit te werken.

Dit snap ik, maar hoe vindt je de integratiegrenzen (effectieve getallen) waardoor je een volume (een getal) uitkomt?

[tempelier]

Daarvoor moet r bekend zijn, dat lijkt me niet het geval als ik het lees.
Dus blijft de r in het antwoord staan.

PS.
In de geschetste grafiek is aangenomen dat r=2 , dus kun je het bepalen voor dat speciale geval.

[Xilvo]

Tenzij die 'r' in de integratiegrens óók weer π is.

Onlangs liep hier iemand verongelijkt weg toen 'm om een scan van het originele vraagstuk werd gevraagd.
Maar je ziet hoe snel zaken verkeerd gelezen of geïnterpreteerd worden.

Dus ook hier, graag een foto of scan van de opgave.

[tempelier]

Ik lees hier toch uit dat er van 0 naar r moet worden geïntegreerd.

tussen 0 en r rond de x-as ontstaat er een omwentelingsvolume.

Maar misschien is het wat ongelukkig geformuleerd en wordt er wat anders bedoeld.

[mathfreak]

Als ik de plot bekijk staat er "assuming that r = 2" bij, maar mogelijk is dit gewoon een willekeurig gekozen waarde om een idee van het verloop van de grafiek bij een gegeven r te krijgen. Merk op dat de uitwerking van de integraal een term sin 2r geeft die voor r = ¼⋅π de maximale waarde 1 heeft. Misschien is het de bedoeling om na het opstellen van de uitdrukking voor de integraal het volume te vinden waarvoor sin 2r maximaal is, maar dan zouden we eigenlijk ook de rest van de opgave te zien moeten krijgen.

[Bagration]

Hartelijk dank voor de hulp!!

Merk op dat de uitwerking van de integraal een term sin 2r geeft die voor r = ¼⋅π de maximale waarde 1 heeft. Misschien is het de bedoeling om na het opstellen van de uitdrukking voor de integraal het volume te vinden waarvoor sin 2r maximaal is, maar dan zouden we eigenlijk ook de rest van de opgave te zien moeten krijgen.

In de opgave staat niets beschreven over het feit dat men het volume moet zoeken wanneer sin 2r maximaal is. Maar ik vermoed dit wel. Wanneer dit het geval is en ik de integraal uitreken met een straal r= ¼⋅π dan kom ik volgende integraal uit:

Schermafbeelding 2019-07-23 om 10 4102 keer bekeken

Wanneer uitgerekend, kom ik op een waarde van 4,71 dat het volume zou moeten zijn