Constante eindsnelheid balletje in glycerol

[RvdBruin]

Hallo,

Allereerst ben ik me ervan bewust dat deze vraag eigenlijk in Huiswerk & Practica thuishoort, maar gezien de (in mijn ogen hoge) moeilijkheidsgraad heb ik hem onder natuurkunde gezet.
Mijn excuses indien ik dit verkeerd heb ingeschat.

Voor een natuurkunde practicum onderzoeken we de dynamische viscositeit van glycerol, door er een stalen balletje in te laten vallen en dan via modelleren de constante eindsnelheid te bepalen.

Voor ons literatuuronderzoek kwam ik via internet uit op een exacte formule voor de snelheid van het balletje als functie van de tijd:

v(t) = v_T(1-e^-gt/v_T)
Met v_T als constante eindsnelheid.

Ik kan echter niet vinden en bedenken hoe men op deze formule is gekomen/deze heeft afgeleid.
Kan iemand van jullie me dat misschien uitleggen?

Alvast bedankt,
Ron

[ukster]

Hallo,
Met onderstaand krachtenevenwicht heb je die formule niet nodig.

dynamische viscositeit 6675 keer bekeken

Alleen de terminal velocity meten en klaar is Kees (al het andere is bekend neem ik aan)

[Rik Speybrouck]

Hallo,
Met onderstaand krachtenevenwicht heb je die formule niet nodig.
dynamische viscositeit.png
Alleen de terminal velocity meten en klaar is Kees (al het andere is bekend neem ik aan)

Ik denk dat ze wel een hele fijne tijdsopname zullen moeten doen want volgens mijn berekeningen wordt de constante snelheid voor een stalen kogel van 1 kg reeds bereikt ergens binnen de 0.10 seconden rekening houdend met een SG voor staal van 7800 kg per kubiek en een dichtheid van glycerol van 1260 kg per meter kubiek. Volgens mij bedraagt deze snelheid 0.01443548 m per seconde

[Xilvo]

Die formule geldt alleen als de wet van Stokes opgaat. Dat betekent dat ρ.v.D/η heel klein moet zijn (ρ dichtheid vloeistof, v snelheid, D afmeting, η viscositeit)

https://en.wikipedia.org/wiki/Stokes%27_law

Dan is de weerstandskracht recht evenredig met de snelheid:

\(F_w=-p.v\)

met p een constante.

Kracht door zwaartekracht

\(F_g=g.m\)

Netto kracht

\(F_n=F_g+F_w=g.m-p.v\)

en eindsnelheid

\(v_T=\frac{g.m}{p}\)

Versnelling

\(a=\frac{dv}{dt}=\frac{F_n}{m}=g-\frac{p.v}{m}=g-v\frac{g}{v_T}\)

Dit soort differentiaalvgl heeft een oplossing van de vorm

\(v=a+b.\exp({-\frac{g.t}{v_T}})\)

Uit de voorwaardes v=0 op t=0 en v=v_T voor t→∞ vind je a=v_T en b=-v_T

[ukster]

Voor een stalen balletje met straal 0,5cm, weerstandscoëfficiënt Cd=0,47 en een gemeten terminal velocity vT=0,02408cm/s (ca 11,56cm in 8 minuten) geeft de formule voor de dynamische viscositeit van glycerol μ=1480 mPas

[Xilvo]

Als ik jouw waardes gebruik en invul in Stokes
F_d=6.π.μ.r.v_T
kom ik op een (niet-realistische) viscositeit van 1765 Pa.s

Rho staal 7800, volume kogeltje 5,236E-7 m³, massa 0,004084 kg, F_d=0,04 N.

Is die eindsnelheid die je noemt, een kwart mm per seconde, niet heel erg laag?

[Rik Speybrouck]

Als ik jouw waardes gebruik en invul in Stokes
F_d=6.π.μ.r.v_T
kom ik op een (niet-realistische) viscositeit van 1765 Pa.s

Rho staal 7800, volume kogeltje 5,236E-7 m³, massa 0,004084 kg, F_d=0,04 N.

Is die eindsnelheid die je noemt, een kwart mm per seconde, niet heel erg laag?

sorry xilvo ik heb bij vroegere berekeningen een beetje zitten prutsen met de waarden in mijn excel file ik bekijk het even had het ook al gezien, ik bereken opnieuw tot straks

[Rik Speybrouck]

zou dit beter aansluiten bij jou bevindingen

[ukster]

Slordigheidje
vT=23,2 cm/s is de terminale snelheid van het balletje in glycerine waarbij μ=1479 mPa.s

dynamische viscositeit 6552 keer bekeken

[Xilvo]

@Rik,

Ik reageerde op de waardes van Ukster.
Als ik met jouw kogel van 1 kg reken en met de Wikipedia-waarde voor de viscositeit van Glycerol (1,412 Pa.s) en Stokes gebruik kom ik op een eindsnelheid van 11,78 m/s. Dan is Re=261, veel te hoog, dus Stokes mag hier niet gebruikt worden.
Dus deze eindsnelheid van 11,78 m/s klopt niet.

Dan dus met F=0,5.C_w.ρ.a.v²

Ik kom zo ook op jouw eindsnelheid van 2,895 m/s.
Ik begrijp niet wat je met 'quadratic' bedoelt en hoe je dan op die andere snelheid komt, 1,7 m/s.

[Xilvo]

@Ukster
Dat klopt beter met wat ik vind, maar hoe kom je aan die Cd-waarde?
Die komt volgens mij niet voor in de formule van Stokes voor een bolletje.
https://en.wikipedia.org/wiki/Stokes%27_law

[ukster]

[Xilvo]

Onderaan staat dat dit geldt voor Re ≈ 10⁴

Hier zijn de Reynoldswaardes veel kleiner (anders mag Stokes ook niet gebruikt worden).

[Rik Speybrouck]

@Rik,

Ik reageerde op de waardes van Ukster.
Als ik met jouw kogel van 1 kg reken en met de Wikipedia-waarde voor de viscositeit van Glycerol (1,412 Pa.s) en Stokes gebruik kom ik op een eindsnelheid van 11,78 m/s. Dan is Re=261, veel te hoog, dus Stokes mag hier niet gebruikt worden.
Dus deze eindsnelheid van 11,78 m/s klopt niet.

Dan dus met F=0,5.C_w.ρ.a.v²

Ik kom zo ook op jouw eindsnelheid van 2,895 m/s.
Ik begrijp niet wat je met 'quadratic' bedoelt en hoe je dan op die andere snelheid komt, 1,7 m/s.

quadratic is kwadratische weerstand en linear is lineair kwadratisch is eindnelheid uiteraard veel kleiner en wordt veel sneller bereikt ook

[Xilvo]

Ik vergiste mij, de eindsnelheid is 1,7 m/s.

De weerstandskracht is hier inderdaad evenredig met het kwadraat van de snelheid.
Re is te hoog om Stokes te kunnen toepassen.