Vloeistof in beker om verticale as

[Xilvo]

Afsplitsing van de huiswerkvraag over vloeistof die in verticaal vlak geslingerd wordt.
Hier wordt de beker rond een verticale as geslingerd.

Kan dit zonder vloeistof te morsen, hoe vol mag de beker zijn.

[tempelier]

De vraagstelling moet denk ik worden aangepast.
Zuiver er zijn meerdere mogelijkheden.
Als we uit gaan van een touwtje dan is het meer een conisch probleem. (zoals je zelf al hebt opgemerkt)

Er zijn echter andere mogelijkheden, de beker zit aan een staaf en ook dat geeft weer meerdere mogelijkheden.

Beste lijkt me om eerst van het touwtje uit te gaan.

[Benm]

Dat geeft inderdaad wel een beetje verschil, afhankelijk van de draaisnelheid. Als die niet heel hoog is dat is het vlak waar het bekertje door slingert lager dan het punt waarop je een touw zou vasthouden, en daardoor de draaicirkel ook weer iets kleiner etc. Overigens blijft het wel binnen een horizontaal vlak, dus op zich geldt er verder hetzelfde na compensatie voor de kleinere straal.

[Xilvo]

Het vloeistofoppervlak in de beker kun je denken als een deel van het oppervlak van vloeistof die zich in een groot draaiend vat bevindt dat om zijn middelpunt roteert.
r: De afstand tot de rotatie-as in horizontale richting.
h: hoogte t.o.v. het (horizontale) vloeistofoppervlek in het midden van het vat.

Versnelling in verticale richting: g
Versnelling in horizontale richting: ω².r

De totale versnellingsvector staat loodrecht op het vloeistofoppervlak:

\(\frac{dr}{dh}=\frac{g}{\omega^2.r}\)

Integreren levert

\(r=\frac{1}{\omega}\sqrt{2.g.h}\)

De kromtestraal van het oppervlak in horizontale richting is vanzelfsprekend r.
Die in de richting loodrecht erop (min of meer verticaal maar wel langs het vloeistofoppervlak) is

\(R=\frac{(1+r')^{1,5}}{r''}\)

met

\(r'=\frac{dr}{dh}\)

Dat levert (foutjes voorbehouden )

\(R=r.\frac{r^2\omega^4}{g^2}(1+\frac{g^2}{r^2\omega^4})^{1,5}>r\)

Voor het morsen door het niet vlak zijn van de vloeistofspiegel is dus alleen de kromtestraal in het horizontale vlak van belang.

Volgende vraag is, hoe hang je de beker zó op dat hij zo veel mogelijk vloeistof kan bevatten.

[tempelier]

Dat kan zo niet gesteld worden omdat de as van de beker niet in dat horizontale vlak zal liggen.

Naarmate er sneller gedraaid zal worden zal dat wel meer het geval worden, maar bij een vrij goed gevulde beker mag het niet verwaarloosd worden.

Dit was voor Benn bestemd.

[Xilvo]

Er zijn echter andere mogelijkheden, de beker zit aan een staaf en ook dat geeft weer meerdere mogelijkheden.

Beste lijkt me om eerst van het touwtje uit te gaan.

Ik denk dat de oplossing met een starre staaf (met vaste lengte en waarbij je vooraf de hoek tussen staaf en beker vastlegt) maar voor één draaisnelheid optimaal kan zijn.

Misschien is voor ophanging aan een touw een mooiere oplossing te vinden.

[Benm]

Een starre staaf geeft problemen - als je het met een hoge snelheid doet met een flexibel touw begin je te draaien met de beker met de bodem richting beneden, en zwegelt deze steeds verder uit naarmate de draaisnelheid toeneemt, met een limiet richting een compleet horizontaal vlak.

Met een starre staaf zit je met het probleem dat bij stilstand al het water uit de beker zou lopen als je die onder 90 graden monteert.

Ik denk dat het meest praktisch is te kijken naar daadwerkelijke toepassingen: bijvoorbeeld centrifuges. Bij langzame centrifuges heb je meestal buishouders die kunnen uitzwenken en die je vrijwel helemaal kunt vullen: naarmate de snelheid toeneemt gaan ze steeds horizontaler hangen en blijft de voeistof erin zitten door de centifugale werking.

Bij snelle (ultra) centrifuges werkt het echter anders: een uitzwengelend mechanisme zou de krachten nooit overleven, die lopen op van 100.000 tot >1 miljoen g, een gram sample trekt daar daadwerkelijk met een ton aan de rotor. Zoiets werkt uiteraard in vacuum en met koeling, maar het ontwerp van de rotors is wel interessant: dat zijn solide stukken titanium en dergelijke, waar de sample tubes onder een vaste hoek in gaan, en de neerslag een beetje naar de buitenlkant ipv direct naar benenden neerkomt. De hoek waaronder je de samples plaatst varieert per model, maar iets als 30 a 45 graden tov verticaal is niet ongebruikelijk.

Praktisch is het niet zo'n probleem, maar wel een reden dat je die buizen domweg niet 'bomvol' kunt vullen, maar slechts tot het punt waarop ze niet overlopen bij de hoek waarin ze staan.

[Xilvo]

Met een starre staaf zit je met het probleem dat bij stilstand al het water uit de beker zou lopen als je die onder 90 graden monteert.

Dat hangt van de constructie af.

Ik nam/neem aan dat Tempelier bedoelde dat de beker onbeweeglijk aan de staaf zit, met de 'as' van de beker (lijn van bodem naar bovenkant) parallel aan de staaf.
En dat de staaf vrij kan bewegen in een verticaal vlak om een scharnier waarmee hij aan de rotatie-as bevestigd is.

Bij ω = 0 hangt de beker dan met de bodem naar beneden en kan hij helemaal gevuld worden; bij ω→∞ (staaf horizontaal) zit de bodem aan de buitenkant en kan de beker ook helemaal vol zijn.

Daartussen zou wat gemorst worden.

Maar misschien is de staaf, indien die niet massaloos is, wel een deel van de oplossing...

[tempelier]

Met een staaf zijn er verschillende opties.

Een scharnier waar de beker zit of geen scharnier.
Ook kan er wel of geen scharnier zitten aan de andere kant van de staaf.

Ook kan men de scharnieren vrij laten bewegen maar men kan ze ook in een stand forceren.

PS.
Het vraagje lijkt steeds gecompliceerder te worden.

[tempelier]

Met een touwtje blijkt het ook wat ingewikkelder te zijn, want hoe krijg je de boel in de draaiende baan?

Als de beker dan vrij slingert is het nagenoeg een konische-slinger.

https://nl.wikipedia.org/wiki/Kegelslinger

[Xilvo]

Het vraagje lijkt steeds gecompliceerder te worden.

Er zijn, met touw of met staaf, verschillende configuraties mogelijk.

Met een staaf is het mogelijk de beker vrijwel volledig gevuld te houden zonder te morsen.

Even de (uitgangs-)punten op een rijtje:
* Met een massaloos touw waarin een heel ondiep bakje zit is het mogelijk het water in het bakje te houden; de lokale versnelling die het bakje ondervindt staat bij iedere rotatiesnelheid precies evenwijdig aan het touw.

* Met een wat diepere beker zal de beker te plat (teveel op z'n kant) gaan liggen omdat het massamiddelpunt verder van de as ligt dan het vloeistofoppervlek. Vloeistof stroomt dan over de onderrand van de beker.

* Hetzelfde gebeurt als de beker star aan een massaloze staaf bevestigd is, waarbij de staaf wel vrij is in verticale richting te scharnieren om het bevestigingspunt aan de rotatieas. Feitelijk geen verschil met het touwtje.

* Als de staaf wel massa heeft komt het massamiddelpunt van beker & staaf wat dichter bij de as te liggen. De hoek van de staaf met de verticaal wordt wat kleiner bij gelijke omega.

* Door de massa van de staaf goed te kiezen houd je het vloeistofoppervlek altijd parallel aan het bovenvlak van de beker.
De enige oorzaak van morsen is dan nog (afgezien van onregelmatigheden bij opstarten) kromming van het oppervlak in horizontale richting.

[Xilvo]

Met een touwtje blijkt het ook wat ingewikkelder te zijn, want hoe krijg je de boel in de draaiende baan?

Als de beker dan vrij slingert is het nagenoeg een konische-slinger.

Bij die slinger ligt de resultante parallel aan het touw en kun je een vloeistofspiegel loodrecht erop in stand houden zonder morsen.

Opstarten en afremmen zal altijd héél traag en voorzichtig moeten gebeuren.

[tempelier]

Met een touwtje blijkt het ook wat ingewikkelder te zijn, want hoe krijg je de boel in de draaiende baan?

Als de beker dan vrij slingert is het nagenoeg een konische-slinger.

Bij die slinger ligt de resultante parallel aan het touw en kun je een vloeistofspiegel loodrecht erop in stand houden zonder morsen.

Opstarten en afremmen zal altijd héél traag en voorzichtig moeten gebeuren.

Uit laten slingeren zal niet het probleem zijn.

Maar om iets rond geslingerd te krijgen moet men het vaste punt van het touwtje heen en weer slingeren.
Dan is in het begin dus geen cirkelbaan mogelijk.

[Benm]

Bij het systeem met een touwtje is het bij lage snelheid toch wel een cirkelvormige baan, maar met een kleinere diameter en lagere verticale positie vergeleken met hoge snelheid?

[tempelier]

Dat klopt dacht ik.
Maar wat als men de beker in een hogere baan wilt brengen?

Probeer het eens met de hand, wat doe je dan, je beweegt de hand ritmisch heen en weer en zo komt de zaak hoger en hoger.
Houd men de hand stil dan gaat de beker echt niet omhoog.

(Het alternatief is natuurlijk rechtstreeks tegen de beker te duwen, maar dat geeft ook problemen.)