Onmogelijke breuksplitsing

[Declutter]

Jaren gelden heeft een wiskunder leraar ons verrast door 3 breukplitsingen met integreren op te geven
De eerste 2 waren redelijk te maken.
De 3e leek onmogelijk, totdat je door had dat het niets anders was dan een optelling van de vorige 2 en daarna dus heel gemakkelijk.

Kennelijk was de opgaaf zonder dat inzicht niet op te lossen. Ik ben op zoek naar een dergelijke opgave.

Iemand ?

[ctjacobs]

Twee palen. De toppen van de palen zijn verbonden door een ketting. https://nl.wikipedia.org/wiki/Kettinglijn_(wiskunde)
Gegeven is de hoogte van de palen, elk 10m en de lengte van de ketting, 20m.
Verder is gegeven dat het midden van de ketting net de grond raakt.

Gevraagd de afstand tussen de palen.

[Declutter]

Wijzigen is kennelijk niet meer mogelijk, maar ik ben op zoek naar een soortgelijke breuksplitsings opgave.

[Benm]

Ik denk dat ctjacobs hier een voorbeeld van een onmogelijke opgave bedoelt: Als die palen 10 meter hoog zijn en de ketting ertussen 20 meter lang, dan heb je geen oplossing, afgezien van de palen pal tegen elkaar aan te zetten.

Zou je het vragen met palen van 20 meter hoog en een ketting ertussen van 30 meter lang die de grond moet raken dan zie je al direct waarom dat schier onmogelijk is.

Wellicht bestaat iets dergelijks ook voor het splitsen van breuken, al ben ik wel benieuwd naar wat de opgave zo ongeveer was. Ik neem aan dat je het vraagt omdat je de exacte opgave niet meer weet, maar wellicht nog wel hoe het ongeveer in elkaar stak?

[tempelier]

Het al of niet kunnen vinden van een breuksplitsing is direct verbonden met het kunnen vinden van een ontbinding van de noemer N. Is N ontbindbaar in lineaire en kwadratische vormen dan is breukspitsen altijd mogelijk.

Het ontbindbaar zijn van de noemer is dus weer verbonden met de oplosbaar van N=0.

[Back2Basics]

Misschien is dit een 'onmogelijke'?
(2x+4)/(x²+6x+9)

[RedCat]

Zowel

\(f(x) = \frac{1}{6x^2 - 5x + 1}= \frac{1}{x-\frac{1}{2}} + \frac{-1}{x-\frac{1}{3}}\)

als

\(g(x) = \frac{12x+5}{6x^2 + 5x + 1}= \frac{1}{x+\frac{1}{2}} + \frac{1}{x+\frac{1}{3}}\)

zijn eenvoudig te splitsen.

Maar voor

\(h(x) = \frac{72x^3 - 24x^2 - 8x + 6}{36x^4 - 13x^2 + 1}\)

is dit lastiger, totdat gegeven is dat

\(h(x) = f(x) + g(x)\)

In feite wordt met dit laatste de ontbinding van de noemer N vereenvoudigd (zie de post van tempelier hierboven).

Bedoel je zoiets?

[tempelier]

Misschien is dit een 'onmogelijke'?
(2x+4)/(x²+6x+9)

De noemer is (x+3)²

Hij is dus wel degelijk te spitsen volgens:

\(=\frac{2}{x+3}-\frac{2}{(x+3)²}\)

Wat gemakkelijk primitieveerbaar is.

[tempelier]

Zowel

\(f(x) = \frac{1}{6x^2 - 5x + 1}= \frac{1}{x-\frac{1}{2}} + \frac{-1}{x-\frac{1}{3}}\)

als

\(g(x) = \frac{12x+5}{6x^2 + 5x + 1}= \frac{1}{x+\frac{1}{2}} + \frac{1}{x+\frac{1}{3}}\)

zijn eenvoudig te splitsen.

Maar voor

\(h(x) = \frac{72x^3 - 24x^2 - 8x + 6}{36x^4 - 13x^2 + 1}\)

is dit lastiger, totdat gegeven is dat

\(h(x) = f(x) + g(x)\)

In feite wordt met dit laatste de ontbinding van de noemer N vereenvoudigd (zie de post van tempelier hierboven).

Bedoel je zoiets?

Dat lijkt me niet, want ook zonder die voorkennis is de breuk makkelijk te splitsen, daar de noemer vrij simpel te ontbinden is.

[ukster]

of deze..

breuksplitsen 3335 keer bekeken

[tempelier]

Ik dacht meer aan deze soort.

\(\frac{ x^2 +5} {x^3 -2x^2-11x + 13 }\)

Er zijn nu geen eenvoudige manieren om de noemer te ontbinden.

[RedCat]

\(\frac{ x^2 +5} {x^3 -2x^2-11x + 13 }\)

Maar van welke 2 eenvoudig te splitsen breuken is dit de optelling?

[tempelier]

\(\frac{ x^2 +5} {x^3 -2x^2-11x + 13 }\)

Maar van welke 2 eenvoudig te splitsen breuken is dit de optelling?

Die is er niet.
Is die er wel dan kan de breuk altijd gesplitst worden zonder die extra informatie.