integraal deltafunctie

[FFish]

Hoi,

\(\int_0^0 {\displaystyle \delta (x)} \,\mbox{d}x\)

Is deze integraal 0 of 1?

\(\int_{-∞}^{+∞} {\displaystyle \delta (x)} \,\mbox{d}x = 1\)

en

\(\delta (x)={\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}\)

[flappelap]

0. Als je integreert over een interval met maat nul krijg je zover ik weet per definitie 0.

Omdat dit rigorous te doen heb je distributietheorie nodig.

Een stukje context helpt ook.

[Professor Puntje]

Voor gewone functies zou dat 0 zijn, maar de deltafunctie van Dirac is geen functie. Om daar wiskundig correct mee te kunnen rekenen heb je distributies of gegeneraliseerde functies nodig. En dat is weer een studie op zich. Echter voor technische en natuurkundige toepassingen komt men er meestal wel uit met wat vage praat en een pseudo-definitie, en dat gaat meestal ook wel goed. Dat wil zeggen: zolang je maar geen moeilijke vragen stelt zoals in je openingspost.

(Voor mijzelf was diezelfde vraag al in mijn schooltijd reden om mij in de theorie van distributies te verdiepen.)

[Xilvo]

Categorie 0/0?

[FFish]

Voor gewone functies zou dat 0 zijn, maar de deltafunctie van Dirac is geen functie. Om daar wiskundig correct mee te kunnen rekenen heb je distributies of gegeneraliseerde functies nodig. En dat is weer een studie op zich. Echter voor technische en natuurkundige toepassingen komt men er meestal wel uit met wat vage praat en een pseudo-definitie, en dat gaat meestal ook wel goed. Dat wil zeggen: zolang je maar geen moeilijke vragen stelt zoals in je openingspost.

(Voor mijzelf was diezelfde vraag al in mijn schooltijd reden om mij in de theorie van distributies te verdiepen.)

Dus ik mag een diracdelta nooit afzonderlijk beschouwen?

Categorie 0/0?

x gaande van 0 tot 0

[Professor Puntje]

Het is van belang voor welk vakgebied (of met welke persoonlijke interesse) je je vraag stelt. Zuiver wiskundigen stellen andere eisen aan een uitleg dat technici of natuurkundigen.

[Xilvo]

Categorie 0/0?

x gaande van 0 tot 0

Dat begrijp ik maar dat bedoelde ik niet.

[Professor Puntje]

Wat er uit komt (en of er wel iets uitkomt) zal afhangen van welke specifieke theorie van de deltafunctie men gebruikt (er zijn er vele).

[tempelier]

Het gaat om de pulsfunctie en is strikt genomen helemaal geen functie.

De gevraagde integraal kan inhoud worden gegeven door hem als tweemaal oneigenlijk te beschouwen en de Cauchy waarde te nemen.

Omdat de Laplace transformatie wel bestaat is hij nogal populair onder elektro-mensen.

[ukster]

Deze bijvoorbeeld

Dirac Deltafunction 3630 keer bekeken

[flappelap]

Voor gewone functies zou dat 0 zijn, maar de deltafunctie van Dirac is geen functie.

Dus...? Is het voor distributies/delta'functies' geen nul?

[Professor Puntje]

Voor gewone functies zou dat 0 zijn, maar de deltafunctie van Dirac is geen functie.

Dus...? Is het voor distributies/delta'functies' geen nul?

Ik vermoed dat het van je precieze definitie afhangt. Het kan ook nog "ongedefinieerd" zijn. Maar dat moet ik dan nazoeken want ik heb die kennis niet meer zo paraat.

[tempelier]

Voor gewone functies zou dat 0 zijn, maar de deltafunctie van Dirac is geen functie.

Dus...? Is het voor distributies/delta'functies' geen nul?

Het is een limiet waarde.
Je maakt hem vrij eenvoudig.

Maak een vierkant O(0,0) , A(1,0) , B(1,1) , C(0,1)

Er wordt nu met A over de Xas geschoven richting O ,
maar zo dat B en C mee schuiven en er een rechthoek blijft met een oppervlakte van 1.
De pseudo functie is dan de limiet van het oppervlak die 1 is.

[Professor Puntje]

Het is niet zo simpel, hoewel dat in veel elektrotechnische boeken wel zo wordt beschreven. Wat je beter kunt doen is de deltafunctie beschouwen niet als de limiet van een rij steeds steilere piekfuncties maar als die rij piekfuncties zelf. Die piekfuncties kunnen dan zo gekozen worden dat ze oneindig vaak differentieerbaar zijn. Met nog wat handige aanvullende definities kun je er dan heel behoorlijk mee rekenen. Voor een "gewone" functie f neem je dan een oneindige rij van steeds diezelfde functie f. Zo maak je een uitgebreide klasse van "rij-functies" waarin zowel gegeneraliseerde functies als representanten van alle "gewone" functies vertegenwoordigd zijn.

[FFish]

Wat je beter kunt doen is de deltafunctie beschouwen niet als de limiet van een rij steeds steilere piekfuncties maar als die rij piekfuncties zelf.

Wat bedoel je hier precies mee?
Of kan je misschien een voorbeeld geven?