Engels wiskundevraagstuk

[Beau96]

Hi Mensen!

in mijn tekstboek staat een verdiepende calculusopgave waarvan ik door de bomen het bos niet meer zie.
de opgave luidt als volgt'

''For any number c, we let fc(x) be the smaller number of the two numbers (x-c)^2 and (x-c-2)^2.
Then we define g(c) = ∫fc(x)dx. [integraal van 0 tot 1]

find the maximum and minimum values of g(c) if -2≤c≤2''


ik heb dit als volgt vertaald naar het Nederlands

''voor elk getal c laten we fc(x) de kleinere zijn van de twee nummers (x-c)^2 and (x-c-2)^2.
hierna stellen we g(c) = ∫fc(x)dx. [integraal van 0 tot 1]

vind de maximale en minimale waarden van g(c) als -2≤c≤2''

heeft een van jullie toevallig een idee om hier een antwoord uit te krijgen? ik heb beide formules in Geogebra gezet met een schuifregelaar, en kom hier tot de conclusie dat het twee dalparabolen zijn waarvan de horizontale verplaatsing te regelen is door c.

groetjes van mij

[Xilvo]

Ik zou om te beginnen kijken (bij zekere waarde voor c) voor welke x, (x-c)² of (x-c-2)² de kleinste waarde oplevert.
Dat kun je doen door uitschrijven. Het makkelijkst is het (denk ik) als je (x-c-2)² schrijft als ((x-c)-2)².

Als dat omslagpunt tussen 0 en 1 ligt weet je dat je in een deel van dat interval (x-c)², in het resterende stuk (x-c-2)² moet integreren.

[mathfreak]

Laat -2≤c≤2 een gegeven getal zijn. dan is f_c = min[(x-c)²,(x-c-2)²] en

\(g(c)=\int_0^1f_c(x)dx\)

Merk op dat (x-c)² = x²-2cx+c² en (x-c-2)² = [x-(c+2)]² = x²-2(c+2)x+(c+2)². Laten we eens kijken wat we krijgen door x²-2cx+c² = x²-2(c+2)x+(c+2)² te stellen. Dit geeft: -4x = 4c+4, dus x = -1-c. Dit geeft dus (-1-c,[1+2c²]) als gemeenschappelijk snijpunt. Omdat x varieert van 0 tot 1 varieert c van -2 tot -1. Voor x²-2cx+c²<x²-2(c+2)x+(c+2)² vinden we: -4x< 4c+4, dus x>-1-c. Er geldt dan dat -1<c≤2. Voor x²-2cx+c²>x²-2(c+2)x+(c+2)² vinden we: -4x>4c+4, dus x<-1-c. Er geldt dan dat --2≤c<-1. Voor --2≤c<-1 geldt dan dat

\(g(c)=\int_0^1x^2-2cx+c^2dx\)

Voor -2≤c≤-1 geldt dat g(c) = 0 en voor -1<c≤2 geldt dan dat

\(g(c)=\int_0^1x^2-2(c+2)x+(c+2)^2dx\)

[Beau96]

Laat -2≤c≤2 een gegeven getal zijn. dan is f_c = min[(x-c)²,(x-c-2)²] en

\(g(c)=\int_0^1f_c(x)dx\)

Merk op dat (x-c)² = x²-2cx+c² en (x-c-2)² = [x-(c+2)]² = x²-2(c+2)x+(c+2)². Laten we eens kijken wat we krijgen door x²-2cx+c² = x²-2(c+2)x+(c+2)² te stellen. Dit geeft: -4x = 4c+4, dus x = -1-c. Dit geeft dus (-1-c,[1+2c²]) als gemeenschappelijk snijpunt. Omdat x varieert van 0 tot 1 varieert c van -2 tot -1. Voor x²-2cx+c²<x²-2(c+2)x+(c+2)² vinden we: -4x< 4c+4, dus x>-1-c. Er geldt dan dat -1<c≤2. Voor x²-2cx+c²>x²-2(c+2)x+(c+2)² vinden we: -4x>4c+4, dus x<-1-c. Er geldt dan dat --2≤c<-1. Voor --2≤c<-1 geldt dan dat

\(g(c)=\int_0^1x^2-2cx+c^2dx\)

Voor -2≤c≤-1 geldt dat g(c) = 0 en voor -1<c≤2 geldt dan dat

\(g(c)=\int_0^1x^2-2(c+2)x+(c+2)^2dx\)

is het hier niet de bedoeling dat je (x-c)^2 > (x-c-2)^2 stelt
dan zou je uitkomen op x=c+1 als gezamenlijk snijdpunt

[mathfreak]

Laten we eens uitgaan van (x-c)² = [x-(c+2)]², dan geldt : x-c = x-c-2 of x-c = -x+c+2, dus x-c = -x+c+2, dus x = c+1. Ik heb me dus blijkbaar in mijn berekening vergist. Voor (x-c)²<[x-(c+2)]² geldt: -x+c+2<x-c, dus x>c+1.
Voor (x-c)²>[x-(c+2)]² geldt: x<c+1. Omdat x varieert van 0 tot 1 kun je dus voor de 3 genoemde gevallen bepalen wat er dan voor c moet gelden. In het eerste geval vind je dat f_c(x) = 0, het tweede geval geeft: f_c(x) = (x-c)². In het derde geval geldt: f_c(x) =[x-(c+2)]².

[Beau96]

dank jullie! intussen heb ik het antwoord gevonden! alleen een kleine vraag verder:

Laat -2≤c≤2 een gegeven getal zijn. dan is fc = min[(x-c)²,(x-c-2)²]

wat houdt de fc = min[(x-c)²,(x-c-2)²] in? wat bereken ik hiermee? waarom is dit Min?

groetjes

[mathfreak]

wat houdt de f_c = min[(x-c)²,(x-c-2)²] in? wat bereken ik hiermee? waarom is dit Min?

De functie f_c is gedefinieerd als het minimum van (x-c)² en (x-c-2)², dus f_c geeft je de kleinste waarde van deze uitdrukkingen.