[wiskunde] Logaritme met negatief grondtal

[Dummiedum]

Hoi,
Ik zit in 4 vwo dus misschien stel ik een domme vraag, maar mijn docent wist het ook niet, dus ik wilde het hier vragen. -2 ^ 3= -8. Waarom kan ik dan niet in mijn rekenmachine -2 log (-8) invoeren? Want dat is toch ook 3. Is dit in afgesproken regel?
Bij voorbaat dank

Edit, ik zie net dat middelbare school vragen ergens anders naartoe moeten, hoe kan ik het verplaatsen?

[mathfreak]

Als ^glog a = b, dan geldt per definitie dat g^b = a, waarbij a>0 en 0<g<1 of g>1. Het grondtal van een logaritme en het argument (de waarde waarvan je de logaritme neemt) zijn dus altijd positief. Omdat je in de schoolwiskunde (althans hier in Nederland) uitsluitend met reële getallen werkt is de logaritme uitsluitend gedefinieerd zoals ik aangaf.

[OOOVincentOOO]

Hallo,

Hier is een grafische bijdrage. Ikzelf ben erg visueel ingesteld.

Voor machtsverheffen heb je bepaalde regels. De figuur hieronder laat in blauw een voorbeeld zien van machtsverheffen. Deze functie is altijd positief.

Het omgekeerde van machtsverheffen is de logaritme. In principe worden de x en de y van plaats verwisseld. Voor de logaritme zijn dan voor x alleen maar positieve waarden mogelijk.

De logaritme is het omgekeerde van machtsverheffen. De definitie Machtsverheffen bestond eerder dan de Logaritme ("de logaritme bestaat dus niet zonder machtsverheffen").

Voor de omgekeerde of inverse van een functie te bepalen worden de x en de y van plaats verwisseld. Een leuk feit is dat de inverse functie gespiegeld is in de lijn: y=x.

[OOOVincentOOO]

Excuses, de blauwe functie heet een: exponentiele functie y=a^x. De exponentiele functie werkt alleen als a>0 (positief reel getal) is. Op deze manier krijg je een mooie continue curve.

[tempelier]

De oplossing is eenvoudig je machine kan het niet aan.

In de algebra geldt gewoon:

\(^{-2}\log -8 =3\)

In de reële analyse echter wordt alleen met positieve grondtallen (ongelijk 1) gewerkt.
Zou men dat wel doen dan is het definitie gebied nergens continue. (dus nergens differentieerbaar)

[OOOVincentOOO]

De oplossing is eenvoudig je machine kan het niet aan.

In de algebra geldt gewoon:

\(^{-2}\log -8 =3\)

@Tempelier,

Volgens jouw stelling: Kun jij mij dan de oplossing geven voor:

\(y=^{-2}\log(x)\)
\(y=^{-2}\log(8)=???\)

Met Wolfram Alpha krijg ik een Im oplossing. Maar dit is niet wat de vraagsteller bedoeld volgens mij. Eerst de basis begrijpen en dan de rest.

[tempelier]

Ik heb helemaal geen stelling.

Ik merk slecht op dat voor sommige combinaties er toch reële waarden uitkomen voor een negatief grondtal.
In de algebra worden die dan ook meegenomen, in de analyse worden ze afgewezen.

Ook is er in het complexe gebied een probleem met de hoofdwaarde:
die is: 1.092840647-.4207872484*I en niet 3

PS.
Voor +8 wordt de hoofdwaarde: 0.1392609706 - 0.6311808726 I

[OOOVincentOOO]

Ja dat kan je idd vinden met Wolfram Alpha of andere programmatuur.

Volgens mij dien je de vraagsteller dan ook beter door tegenvoorbeeld te geven:

\(y=^{-2}\log(x)\)

Als zou gelden:
\(y=^{-2}\log(-8)=3\)

Wat is dan de oplossing voor:
\(y=^{-2}\log(8)=???\)

Ik kreeg het tevens zo geleerd in het eerste jaar HBO. Er is geen Re oplossing mogelijk.

Volgens mij had ik al een redelijk antwoord gegeven dmv de inverse functie (de logaritme bestaat niet zonder het begrip machtsverheffen). Maar uiteindelijk blijkt misschien een tegenvoorbeeld de beste verklaring zoals wij gedemonstreerd hebben.

Gr,
Vince

[tempelier]

De algebra doet het zonder analyse, het is een heel andere benadering.
Wat je daar hebt geleerd is gewoon geen bewijs.

[OOOVincentOOO]

Moet je eerst het echte bewijs kennen voordat je ermee moet kunnen werken? Moet je eerst complexe getallen kennen voordat je het begrip logaritme mag gebruiken???

Het was in de eerste maand HBO wat daar gedemonstreerd werd (tegenvoorbeeld). Wat ik daarna geleerd heb vertelde ik niet.

De echte wiskundige bewijzen gaat de meeste mensen hier (inclusief ikzelf natuurlijk) buiten hun boekje.

Als eerst bewijzen nodig zijn zou de wiskunde niet bestaan zoals het nu is.

[tempelier]

Het was geen regen voorbeeld.

Het laat alleen zien dat er voor ANDERE waarden er geen reëel waarde zijn die voldoen.

[OOOVincentOOO]

In de algebra geldt gewoon:

\(^{-2}\log -8 =3\)

Dan geef ik je ook het gelijk. Gelijk aan hoe je in je eerste post zegt dat:

\(^{-2}\log(-8) =3\)

Wat niet waar is! Je hersteld jezelf nadat ik een opmerking geef!

\(^{-2}\log(8) =????\)

Ik geef de vraagsteller informatie waarmee hij/zij zelf een eigen onderbouwing/verklaring kan vinden. Als jij dat verkeerd vind ok.

Voor mij geen zin meer te reageren op WF voorlopig: Over, Out en .

[tempelier]

Ik snap zelfs niet wat je bedoeld.

[Xilvo]

De logaritme van een negatief getal x is een complexe waarde.
Het reële deel is gelijk aan de logaritme van absolute waarde |x|, het imaginaire deel is gelijk aan het argument.
En dat argument is voor een negatief reëel getal π + k.2.π

ln(-8) = 2.07944154168 + π + k_a.2.π
ln(-2) = 0.69314718056 + π + k_b.2.π

Voor k_b=0 en k_a = 1 geeft ^-2log(-8) = ln(-8) / ln(-2) = 3

Dit is één van de vele oplossingen.

[tempelier]

Klopt, maar het is niet de hoofdwaarde.