Som van integralen

[Autodidact1]

Dag allemaal

Ik denk onderstaande oefening opgelost te hebben maar, ik vind het niet zo een mooie manier. Zijn er andere meer elegant manieren om dit op te lossen? De bedoeling is om n te bepalen zodat de som gelijk is aan -21/2

Ik heb de eerste drie termen opgelost en kreeg dan -0,5 + (-1) + (-1,5). Hierin zag ik een patroon en heb de reeks afgeschreven tot de som van de cijfers gelijk is aan -21/2 oftewel -10,5.

Dus -0,5 + (-1) + (-1,5) + (-2) + (-2,5) + (-3) = -21/2
Ik tel 6 cijfers op links dus is n = 6.


Groetjes

Autodidact1

[CoenCo]

Eerst ∫(x-n)/n dx voor x=0..n oplossen. Dat levert -1/2*n op. Dat is dus het antwoord voor elke deelintegraal.

Daarna zou ik denk ik een beetje rommelen. De som van alle deelintegralen is te bendaren door de integraal ∫-1/2*n dn. Deze kan je uitschrijven en gelijk stellen aan 21/2.
Hier komt ca 6,5 uit. Dan even checken of 6 danwel 7 aan je eis voldoet.

Het kan vast netter

[RedCat]

Hier geldt voor elke integraal:

\(\displaystyle \int_0^i \frac{x-i}{i}dx = \frac{1}{i}\left[\frac{1}{2}(x-i)^2\right]_{x=0}^i= -\frac{1}{2}i\)

dus

\(\displaystyle \sum_{i=1}^n \left( \int_0^i \frac{x-i}{i}dx \right) = \sum_{i=1}^n -\frac{1}{2}i = -\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n i = -\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}n(n+1)\)

(in de laatste gelijkheid gebruiken we een standaard sommatie-formule, zie bijvoorbeeld
https://nl.wikipedia.org/wiki/Sommatie#Eindige_sommen).

En dit laatste resultaat moet gelijk zijn aan -21/2, dus:

\(-\frac{1}{4}n(n+1)=-\frac{21}{2}\)

en dit geeft:

\(n(n+1) = 42\)

\(n^2 + n - 42 = 0\)

dus n = 6 of n = -7, maar n = -7 kan niet omdat n > 0 moet zijn.
Blijft over n = 6.

[mathfreak]

Zelf zou ik eerder k als sommatie-index hebben gevruikt omdat i ook als symbool voor de imaginaire eenheid kan worden opgevat.