Fibonacci Priemgetal Driehoeken

[OOOVincentOOO]

Hallo,

Afgelopen dagen heb ik gespeeld met driehoeken geconstrueerd uit priemgetallen. Gebaseerd op een vraag bij een ander forum.

\(|p(n+2)|=|p(n+1)|+|p(n)|\)

Dit zijn een soort van Fibonacci Priemgetal driehoeken. Uit analyse en wat afleidingen leuke eigenschappen gevonden. Meer informatie in de beschrijving van de Youtube visualisatie.

Een leuke afleiding welke ik gevonden had was deze:

\(|\tilde{p}(n+2)|=\frac{1}{2}|p(n)|+\sqrt{-\frac{3}{4}|p(n)|^{2}+|p(n+1)|^{2}}\)

Hiervan kan de positie van het volgende priemgetal bepaald worden a.d.h.v. van de twee priem voorgangers. Uit analyse heb ik gevonden dat de fout in het priemgetal tussen: -50 en +50 ligt in 99% procent van de gevallen in ieder geval voor priemgetallen kleiner dan 1000000.

Gebaseerd op de Fibonacci priemgetallen een video gecreëerd. De eerste driehoek: 2, 3, 5 bestaat niet hier is de hoek 0 graden. Ik heb kunnen afleiden dat er oneindig veel Fibonacci Priemgetal driehoeken zijn. Zie beschrijving.

Nota bene, ik geloof niet in de term: "recreatieve wiskunde". Het mag er leuk uitzien en het resultaat is misschien recreatief maar de wiskunde erachter niet!

[Professor Puntje]

Heb nu even weinig tijd maar zal er later naar kijken. Dit zou best eens een interessant topic kunnen worden.

Overigens is recreatieve wiskunde in principe even rigoureus als andere vormen van wiskunde. Het "recreatieve" eraan is enkel dat deze wiskunde als een vorm van ontspanning bedoeld is en (vooralsnog) verder niet op praktische toepassingen is gericht (hoewel die er later soms toch blijken te zijn). Niets mis met recreatieve wiskunde.

[OOOVincentOOO]

Ik dacht al dat je zou reageren op term recreatieve wiskunde!

Zoals ik al vertelde in mijn ogen bestaat: recreatieve wiskunde niet! Je doet het met plezier of niet.

Geforceerde wiskunde bestaat wel. Wanneer uit werkdruk bijv. iets afgemaakt moet worden.

[Professor Puntje]

Laten we daar verder niet op in gaan, ik zal later vandaag op het topic zelf reageren.

[Professor Puntje]

Voor de duidelijkheid: klopt het onderstaande?

1. p(n), p(n+1) en p(n+2) betekenen respectievelijk het n-de, n+1-de en n+2-de priemgetal.
2. p(n) is de vector p(n).e_x waarbij e_x de eenheidsvector van de x-as in het XY-vlak is.
3. p(n+1) en p(n+2) zijn vectoren met respectievelijke lengte p(n+1) en p(n+2) zodanig dat:
i) de staart van p(n+1) aan de kop van p(n) zit
ii) de staart van p(n+2) aan de kop van p(n+1) zit
iii) de kop van p(n+2) in de oorsprong O aan de staart van p(n) zit
iv) de drie vectoren p(n), p(n+1) en p(n+2) een op p(n) als basis opgerichte driehoek in het XY-vlak vormen.
v) je de in iv) omschreven driehoeken Fibonacci priemgetal driehoeken noemt.

[OOOVincentOOO]

p(n) betekend het n'de priemgetal.

Inderdaad, de driehoek staat vast door een vector optelling van drie opeenvolgende priemgetallen zodat:

p(n+2)=p(n)+p(n+1)

In het eerste bericht had ik per ongeluk de abs waarde geschreven. In het commentaar van de video staat het correcte. Dat is het nadeel als je iets in de werklunch wil doen met een boterham in de hand.

Meer informatie staat in het documentje bij het commentaar van de youtube video. Het lijkt erop dat je het documentje hebt doorgelezen er staat ook een plaatje bij:

De naam Fibonacci had ik toegevoegd omdat deze serie ook de optelling neemt van twee voorgaande getallen. Echter heb ik er vectors van gemaakt bij priemgetallen.

Let wel, de video is gebaseerd op deze driehoeken. Het begeleidende documentje gaat iets anders om met de driehoeken. Kern van het verhaal zijn gelijkzijdige driehoeken (3x60°). Deze zijn ook te herkennen in video.

[Professor Puntje]

Eigenlijk heb je dan p(n) + p(n+1) + p(n+2) = 0.

[OOOVincentOOO]

De bedoeling is het coördinaat te bereken: x, y (heb ik gedaan met cosinus regel) in het grafiekje. Vector: p(n) (of: p(n+1)) dient parallel aan de x-as gelegd te worden met start in oorsprong.

Dit heb ik dan gedaan voor alle priemgetallen tot 1000000.

Uit de bevindingen volgen verdere acties.

[Professor Puntje]

In je documentje staat een interessante vraag:

Do all “Fibonacci” Prime Vector triangles exist, are there combinations what are not possible?

Gaat dat in het documentje over dezelfde Fibonacci priemgetal driehoeken als waar we het hier in dit topic over hebben?

[OOOVincentOOO]

Dankjewel dat je het serieus neemt. Inderdaad, dus in pricipe met de vector notatie:

p(n+2)=p(n)+p(n+1)

Bestaan al deze driehoeken?

Men kan een geval bedenken wat geen driehoek is volgens mij: 2, 3, 5. Dit betekend een platte driehoek daar: 2+3=5. Ik had in het documentje (commentaar onder youtube video) een verklaring gevonden betreffende de pariteit: de som van twee (oneven) priemgetallen moet een even getal opleveren waarbij: odd+odd=even. De platte driehoek is volgens mij alleen geldig voor: 2, 3, 5 "driehoek" 2 is het enige even priemgetal, odd+even=odd. Ik heb nog altijd problemen dit te verwoorden maar is hopelijk na te gaan voor iemand.

Als de driehoeken bestaan moet de lange zijde kleiner zijn dan de som van de twee andere zijden. Mijn vraag was: wanneer krijg je de langste som van deze zijden? Dit is het geval als |p(n)| en |p(n+1)| dicht bij elkaar liggen (volgens mij, ik twijfel nog steeds), dan gebeurt dit bij "Twin Primes" hierbij is: 2|p(n+1)|-2>|p(n+2)|.

Zo kan je dan schrijven dat de lange zijde kleiner moet zijn dan de som van de andere twee (hopelijk maak ik geen type fout):

\(|p(n+2)|<2|p(n+1)|-2\)

Na enig zoekwerk kwam ik uit op: "Bertrand–Chebyshev theorem".

https://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand%27s_postulate

Excact de formule wat opgesteld was. Deze stelt dat dit het geval is "theorm". Mijn kennis is veel te gelimiteerd om dit verder na te gaan (echte wiskunde). Maar zoals ik begrijp moeten alle de "Fibonacci Priem Driehoeken" bestaan.

Wat ik nog altijd een raadsel vind: waarom convergeren waarschijnlijk alle "Fibonacci Priem Driehoeken" naar gelijkzijdige (3x 60°) driehoeken? Volgens mij vind men nimmer een verklaring en heeft dit te maken met "moeder" natuur.

[Professor Puntje]

Kun je hier iets mee?

https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_gap#Upper_bounds

[OOOVincentOOO]

Kun je hier iets mee?

https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_gap#Upper_bounds

Via prime gaps en via die site (en jouw artikel) ben ik aan: "Bertrand's postulate" gekomen!

[Professor Puntje]

Bron: https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_gap#Upper_bounds

Het moet nog wel netjes bewezen worden maar ik vermoed dat je uit de limiet bij de rode pijl kunt afleiden dat je driehoeken voor grote n uitieindelijk allemaal dezelfde vorm benaderen.

[OOOVincentOOO]

Aha, mooi. Naar een verklaring waarom de gelijkzijdige driehoeken onstaan was ik al lang opzoek! Net proberen te beredeneren. Volgens mij (in mijn taal). Stel je hebt de getallenlijn:

p(n), +g(n), p(n+1), +g(n+1), p(n+2), +g(n+2), p(n+3), +g(n+3)......................

Voor n→∞ is gap verwaarloosbaar t.o.v. van priemgetal (volgens jouw link) dus:

p(∞), p(∞+1), p(∞+2), p(∞+3), p(∞+4)......................

In de dubbele oneindig zijn de opeenvolgende priemgetallen gelijk! En dat betekend gelijkbenige driehoeken!! Mathologger (als je weet wie ik bedoel) zou mij doodschieten voor zulke afleiding!

Mijn conclusie:
Eigenlijk zijn dan alle priemgetallen in oneindig: "Twin Primes". Maar die uitspraak zullen niet velen slikken!


Aha dat voelt goed!

[Professor Puntje]

Wat ik zou doen is voor steeds grotere n de driehoeken bekijken die je krijgt als je de lengte van alle zijden door p(n) deelt. Daarbij behoudt de driehoek dezelfde vorm. Maar zulke "genormaliseerde" driehoeken zullen dan - vermoed ik - voor grote n de gelijkzijdige driehoek met zijdelengte 1 benaderen.