functie

[ukster]

Wat is de analytische oplossing van de rotatiehoek θ van de functie f(x)=sin(x)/x, waarbij de grafiek nog als functie kan worden aangemerkt.
Volgens mij is dat het geval als er slechts 1 verticale raaklijn is.

[flappelap]

Ik persoonlijk heb geen idee wat je met je vraag bedoelt.

[ukster]

vertical line test 2901 keer bekeken

Door rotatie van een functie f(x) om de oorsprong kan de situatie optreden dat er voor een waarde van x meerdere functiewaarden bestaan. Dit levert dus wel een grafiek op maar is geen functie! (vertical line test bovenste plaatje)
Ik vermoed dat de grens van wel een functie/geen functie ligt bij precies 1 verticale raaklijn.
De rotatieformule voor een functie f(x) in een x-y assenstelsel is:

rotatieformule 2901 keer bekeken

θ is de rotatiehoek

[tempelier]

Lijkt me niet als ik je goed begrijp.

Zie: \(y=x^2\)

[ukster]

y=x² is een functie (vertical line test)
y=x² is een niet 1 op 1 functie (horizontal line test)
Er is wel een inverse van y=x² , maar dit is dus geen functie!

inverse 2711 keer bekeken

[tempelier]

Je komt nu met een nieuwe eis volgen mij.

PS.
y=x² heeft geen inverse.

PS.
Men kan de functie natuurlijk wel reduceren dan is er wel een inverse.

[ukster]

Het gaat erom of de grafiek van de functie sin(x)/x na een bepaalde rotatie om de oorsprong nog wel een functie is.(do the vertical line test)
rotatieformule:

rotatieformule 2704 keer bekeken

op basis van een Mapleplot schat in dat een rotatie > 67° geen functie meer oplevert (bij precies 1 verticale raaklijn)
De vraag blijft staan hoe deze kritische rotatiehoek analytisch kan worden bepaald!

[tempelier]

Lastig.

Ik zou het zoeken in een rechte snijlijn.
Elke snijlijn bepaald een maximale draai hoek.

[RedCat]

Alternatief:
Zoek de raaklijn aan f(x) = sin(x)/x met de maximale richtingscoëfficient.
Noem de richtingshoek van die raaklijn alpha.
Dan is je maximale rotatiehoek theta =

\(\theta = \frac{\pi}{2} - \alpha\)

Na rotatie over deze hoek theta staat die raaklijn precies verticaal (= parallel aan de y-as).
Ik kom zo uit op theta = 1.159492829676... rad = 66.434045516136...°

[ukster]

Slim gevonden zeg..
Het inflection point van sin(x)/x ligt op x=-2,08 (voor het interval -4..0)
De afgeleide cos(x)/x-sin(x)/x² heeft op dat punt de maximale richtingscoefficient tan(α)=0,43618, dus α=0,4113 rad. θ_max=π/2-α=1,159 rad= 66,43°

[CoenCo]

vertical line test.png
Door rotatie van een functie f(x) om de oorsprong kan de situatie optreden dat er voor een waarde van x meerdere functiewaarden bestaan. Dit levert dus wel een grafiek op maar is geen functie! (vertical line test bovenste plaatje)
Ik vermoed dat de grens van wel een functie/geen functie ligt bij precies 1 verticale raaklijn.
De rotatieformule voor een functie f(x) in een x-y assenstelsel is: rotatieformule.png
θ is de rotatiehoek

Vermoed je dit voor álle functies, of specifiek deze (sin(x))/x functie? Tegenvoorbeeld: Als je alleen sin(x) neemt, en deze 45graden roteert, dan heb je oneindig veel verticale afgeleiden, maar nog steeds een functie lijkt me.

[ukster]

Voor alle functies.
Voor elke waarde van de onafhankelijke variabele van de 45° geroteerde sin(x) functie hoort nog steeds 1 functiewaarde.

voor θ>45° kun je volgens de definitie van de vertical line test niet meer van een functie spreken.

[ukster]

Ik zie echter niet hoe de laatste uitdrukking hieronder de 3 verschillende y- waarden bevat voor x=0

3 verschillende y waarden 2530 keer bekeken

[ukster]

Mathematica gaat iets verder.

complex oplossing 2517 keer bekeken

[tempelier]

Vond Maple ze niet via evalf dat zou eigenlijk wel moeten.