gravitatieveld

[ukster]

Bol met uniforme dichtheid ρ

gravitatieveld 2178 keer bekeken

Hoe luidt de formule voor gravitatiepotentiaal V en gravitatieversnelling g= -dV/dR voor de drie regio’s ?

[ukster]

de formules zijn nodig om de tabel te kunnen invullen.

[ukster]

De tabel geldt overigens voor:
ρ=5.10⁶ kg/m³
a=1km
b=10km

[Xilvo]

Versnelling

Buiten de bol, r ≥ b:

\(g=G\frac{M_{tot}}{r^2}\)

Binnen bol, b > r ≥ a:

\(g=G\frac{M_{tot}}{b^2}\frac{r-a}{b-a}\)

(Versnelling neemt lineair af met r)

Binnen bol, r < a:

\(g=0\)

Potentiaal vind je door de versnelling te integreren.

[Gast]

Om die tabel in te vullen hoeven geen moeilijke formules afgeleid te worden (een integraal zou mooi zijn wil je voor iedere straal tussen a-b een grafiek plotten):

De massa voor (de, vanwege de bolschilstelling, "kleiner wordende" (voor de regio tussen a-b)) bol is te bereken met M(<r)=4/3πr^3ρ.

Dan geldt voor buiten de bol:
V= - GM/x (x is hier dus 12).

Voor de radii tussen a-b telkens:
V= - GM/R (R is hier dus 10, 7, en 3. Waarbij M dus kleiner wordt!)

Voor R=1 (het binnenoppervlak, geldt hetzelfde voor ieder willekeurig punt in de holte, V(a) = - GM/a. (Want er wordt geen arbeid verricht bij een verplaatsing van a naar een willekeurig punt in de holte.)

g = 0 voor in de holte, loopt dan idd lineair op tussen a-b, vanaf b simpelweg te berekenen met g = GM/r^2.

[ukster]

Ik zie (nog)niet wat er mis is in mijn uitwerking!
ik krijg een ander verloop (groene lijn)

[Gast]

Ik begrijp de laatste afleiding voor g niet (verder volgens het boekje of elders .)

Maar dat zal je vast ergens vandaan hebben en zal kloppen.

Het enige wat ik kan bedenken is dat je voor a (R=1km) het gedeelte voor "in de bol gebruikt". Terwijl omdat het "binnenoppervlakte equipotentiaal" gelijk is aan het equipotentiaal in de holte, het zit nog net in de holte, je het gedeelte voor "in de holte" zou moeten gebruiken .. denk ik.

Waar is dit voor als ik vragen mag?

[ukster]

versnelling g = differentieren van de potentiaal V naar R.
Zo'n fictieve (holle)materiebol spreekt mij aan om daarmee de aanwezigheid en het verloop van het gravitatieveld(gravitatiepotentiaal en gravitatieversnelling) enigzins te doorgronden op basis van de Gausswet voor gravitatie!

[Gast]

Ok. Gelukkig. Was even bang dat het over de mogelijkheid van een holle aarde ging (die mensen heb je!) ..

Maar het moet eigenlijk wel zo zijn dat je bij R=1km ergens begint in de materie. Succes!

[ukster]

Fout ontdekt!

versnelling 1839 keer bekeken

dus g verloopt (uiteraard) volgens de rode lijn

[ukster]

Tot mijn verbazing zie ik nu een significant verschil (met de formule van Xilvo) in het verloop van de zwaartekrachtversnelling in de bol.
Wat is nu de werkelijkheid?

[Xilvo]

Wat is nu de werkelijkheid?

Ik heb het nog niet nagerekend, maar waarschijnlijk heb jij gelijk.

Ik heb de zaak ooit, lang geleden, netjes uitgerekend voor een homogene bol. Daarin verloopt g binnen de bol lineair tot die nul is in het middelpunt.
Maar als er een bolletje mist (die holte) dan moet je de versnelling door die bol die anders de holte zou vullen, ervan aftrekken. Die gaat natuurlijk weer met 1/r² dus het resultaat kan niet lineair zijn, zoals ik eerder te snel opschreef.

[ukster]

Dit is het geval als a=5km, dus een aanzienlijke holte!

[Gast]

Oja, tuurlijk verloopt het bij een holte niet lineair meer idd. Ik vroeg me al af waarom het hier zo verliep:

Waarbij de diameter bol 2x diameter holte is, net als bij jouw laatste grafiek. Hmm .. hoe zit dit precies wil ik nu weten.

Ik begrijp alleen je eerste curve niet, want daar zit geen holte. Oja, daar klopt dan natuurlijk de formule van Xilvo.

Leuk onderwerp om te volgen. Is eens wat anders dan relativiteit .. best wel pittige wiskunde (een stuk pittiger dan gelijktijdigheid in de SRT . .. gek genoeg kan ik het allemaal volgen, met meervoudige integralen, tot die laatste g.)

Maar ik moet echt enorm nodig naar de wc ..

[ukster]

Ik begrijp alleen je eerste curve niet, want daar zit geen holte. Oja, daar klopt dan natuurlijk de formule van Xilvo.

Jawel,er zit een holte,de horizontale as begint namelijk op 1km

Samengevat voor de 3 regio's (met zwaartekrachtversnelling g= -dV/dR)

holle bol 1669 keer bekeken