Quantoren distributieregels

[Autodidact1]

Dag allemaal

Ik ben zelfstudie wiskunde aan het doen ter voorbereiding op de opleiding tot industrieel ingenieur. Nu loop ik echter wel vast. Op dit moment bent ik bezig met verzamelingenleer en logica.

Ik snap niet goed waarom een universele quantor niet gedistribueerd kan worden over een disjunctie.

(∀a ∈ A : P(a)) ∨ (∀a ∈ A : Q(a)) impliceert blijkbaar ∀a ∈ A : ( P(a)∨Q(a)) maar niet andersom.

Waarom een existentiële quantor niet gedistribueerd kan worden over een conjunctie begrijp ik volgens mij wel.

∃a∈A:(P(a)∧Q(a)) impliceert (∃a∈A: P(a)) ∧ (∃a∈A: Q(a))

Ik interpreteer dit als: Als er een a is die zorgt dat P(a) ∧ Q(a) geldt dan zorgt die a ervoor dat P(a) klopt en dat Q(a) klopt. Maar niet alle a die zorgen dat P(a) klopt, zorgen ervoor dat (P(a) ∧ Q(a)) klopt. Denk ik in de juiste richting?


Formele notaties en logica vind ik maar moeilijk met momenten



Groetjes


Autodidact

[Professor Puntje]

Bekijk eens wat je krijgt als:
A = de verzameling der positieve natuurlijke getallen.
P(a) = "a is even".
Q(a) = "a is oneven"

[Autodidact1]

Volgens mij snap ik het beter nu. Zoiets als hieronder dan?

(∀a ∈ A : P(a)) ∨ (∀a ∈ A : Q(a)) impliceert blijkbaar ∀a ∈ A : ( P(a)∨Q(a))

Als alle getallen uit N even zijn of alle getallen uit N oneven zijn dan zijn alle getallen uit A even of oneven. (Juiste stelling)

Andersom: Als alle getallen uit A even of oneven zijn, dan zijn alle getallen uit N even of zijn alle getallen uit N oneven (Foute stelling)


∃a∈A:(P(a)∧Q(a)) impliceert (∃a∈A: P(a)) ∧ (∃a∈A: Q(a))

Als er getallen in N bestaan die even en oneven zijn dan bestaan getallen in N die even zijn en bestaan er getallen in N die oneven zijn. (Juiste stelling)

Andersom: Als er getallen bestaan in N die even zijn en er bestaan getallen in N die oneven zijn, dan bestaan er getallen die even en oneven zijn. (Lijkt mij een foute stelling)

Zit ik in de buurt?

[Professor Puntje]

Ja - alleen haal je ergens A en N door elkaar, maar de gedachte is goed. Ik heb die distributieregels zelf ook nooit aangeleerd. Als je het kunt beredeneren (zoals je nu doet) is dat veel beter dan het blind toepassen van geleerde regeltjes.