Raar priem-idee...?

[Professor Puntje]

Zojuist viel mij het volgende idee in:

Is het mogelijk een wiskundig interessante rekenkunde te ontwerpen met twee bewerkingen ⊕ en ⊗ zodanig dat voor a en b priemgetallen a⊕b en a⊗b ook steeds zelf weer priemgetallen zijn?

(Mocht zoiets al bestaan dan ben ik benieuwd wat dat is.)

[Professor Puntje]

Ik bedenk net een mogelijkheid: laat p_k het k-de priemgetal zijn, en definieer dan:
p_n ⊕ p_m = p_n+m
p_n ⊗ p_m = p_n.m

Alleen kan ik nog even niet overzien of dit ook iets interessants oplevert.

[Professor Puntje]

Men zou dan kunnen bekijken welke priemgetallen niet in de vorm a⊗b geschreven kunnen worden voor a en b priemgetallen, en dat zijn dan een soort van hyper-priemgetallen onder de priemgetallen. Zijn dat er oneindig veel dan kan het proces herhaald worden door op de hyper-priemgetallen ook weer twee bewerkingen te definiëren, etc.

[Bart23]

Ik bedenk net een mogelijkheid: laat p_k het k-de priemgetal zijn, en definieer dan:
p_n ⊕ p_m = p_n+m
p_n ⊗ p_m = p_n.m

Alleen kan ik nog even niet overzien of dit ook iets interessants oplevert.

Eigenlijk heb je hier gewoon de gehele getallen 'gemimict', door het symbool voor

\(n\)

te vervangen door

\(p_n\)

. Je gebruikt nergens het priem-zijn van de getallen. Dit kan je evengoed doen voor de Fibonaccirij, bijvoorbeeld.

[Bart23]

Iets officiëler gezegd: de afbeelding

\(f:\mathbb{Z}\to P:n\mapsto p_n\)

is een ringisomorfisme, omdat de bewerkingen in P juist op die manier gedefinieerd zijn dat ze compatibel zijn met die in

\(\mathbb{Z}\)

[Professor Puntje]

Met Z zal het niet gaan, want n kan niet negatief worden.

[Bart23]

Je kan ook 'priemgetal' definiëren voor negatieve gehele getallen: een getal met precies 4 (gehele) delers. Dat zijn dan gewoon de tegengestelden van de 'gewone' priemgetallen. In die zin kan je zeggen dat

\(p_{-1}=-2; p_{-2}=-3,\dots\)

Je kan 'priemgetal' trouwens nog veel verder veralgemenen. In de ring van gaussische gehelen bijvoorbeeld. Nog abstracter kunnen we over priemidealen in een ring gaan spreken.

Om het werkend te maken voor heel Z moeten we wel stellen dat

\(p_0=0\)

[Professor Puntje]

Juist - en ontstaat er dan misschien wel iets interessants wanneer je mijn eerder vermelde idee daarop toepast:

Men zou dan kunnen bekijken welke priemgetallen niet in de vorm a⊗b geschreven kunnen worden voor a en b priemgetallen, en dat zijn dan een soort van hyper-priemgetallen onder de priemgetallen. Zijn dat er oneindig veel dan kan het proces herhaald worden door op de hyper-priemgetallen ook weer twee bewerkingen te definiëren, etc.

[Bart23]

Correctie:
Om het werkend te maken voor heel Z moeten we ook een p_0 hebben dus best één opschuiven

\( p_0=-2, p_{-1}=-3\)

p_0 is dan het neutraal element voor de 'nieuwe optelling' , maar het zou verwarrend zijn om dit ook met een nul te noteren, gezien het hier nu eigenlijk -2 is. Analoog voor eenheidselement: p_1 (dat dus feitelijk 2 is)

[Bart23]

Je kan eender welke aftelbaar oneindige verzameling '(zoals de verzameling der priemgetalen) inrichten' als kopie van de gehele (of natuurlijke) getallen. Precies op de manier die jij als optie gaf.
Zelfs maar alleen een nieuwe optelling voor priemgetallen vinden die echt gebaseerd is op het priem-zijn, zou zeer zeer sterk zijn. Dat zou, denk ik, wel een tool zijn waar nog veel onopgeloste problemen mee kunnen opgelost worden (Goldbach misschien?).

[Professor Puntje]

Voor iedere denkbare bewerking ⊕ zal er ook automatisch een functie f met k = f(n,m) zijn zodanig dat:
p_n ⊕ p_m = p_k

Het komt er op aan zo'n functie f te vinden.

[Professor Puntje]

Je kan eender welke aftelbaar oneindige verzameling '(zoals de verzameling der priemgetalen) inrichten' als kopie van de gehele (of natuurlijke) getallen. Precies op de manier die jij als optie gaf.
Zelfs maar alleen een nieuwe optelling voor priemgetallen vinden die echt gebaseerd is op het priem-zijn, zou zeer zeer sterk zijn. Dat zou, denk ik, wel een tool zijn waar nog veel onopgeloste problemen mee kunnen opgelost worden (Goldbach misschien?).

Bedoel je daarmee dat de definitie van de bewerking wezenlijk gebruik moet maken van het gegeven dat de bewerking op priemgetallen wordt toegepast?

[Bart23]

Dat hoeft niet. Het voorstel dat jij deed maakt van de verzameling van priemgetallen effectief een ringstructuur. Maar daarbij heb je gewoon de structuur van Z 'getransporteerd' naar de verzameling priemgetallen. Je had daarvoor eender welke andere aftelbare verzameling kunnen gebruiken, zoals de verzameling fibonaccigetallen, Q of zelfs de algebraïsche getallen.
Het zou razend interessant zijn als die nieuwe bewerking(en) ook effectief zouden berusten op de specifieke eigenschappen van de onderliggende verzameling. Een beetje zoals je een groep kan definiëren op de rationale punten van een elliptische kromme.
Maar zo'n k=f(m,n) vinden die zowel zorgt voor een interessante rekenkunde én die geworteld is in de 'gewone rekenkunde' zal aartsmoeilijk zijn om te vinden.

[Professor Puntje]

Ideetje: Is er altijd een priemgetal groter dan p_n + p_m-1 en dan p_n-1 + p_m maar kleiner dan p_n + p_m+1 en dan p_n+1 + p_m ?

[RedCat]

Nee.
Kies bijvoorbeeld: p_n = 5 en p_m = 29
dan is
p_n-1 = 3
p_n+1 = 7
p_m-1 = 23
p_m+1 = 31

Een priemgetal groter dan p_n + p_m-1 = 28 en dan p_n-1 + p_m = 32,
maar kleiner dan p_n + p_m+1 = 36 en dan p_n+1 + p_m = 36
moet dus liggen tussen 32 en 36.
Maar:
32 = 2^5
33 = 3 * 11
34 = 2 * 17
35 = 5 * 7
36 = 2^2 * 3^2


Een iets groter tegenvoorbeeld: p_n = 211 en p_m = 317
geeft
p_n-1 = 199
p_n+1 = 223
p_m-1 = 313
p_m+1 = 331
dit geeft de grenzen 524 en 540, maar:
524 = 2^2 * 131
525 = 3 * 5^2 * 7
526 = 2 * 263
527 = 17 * 31
528 = 2^4 * 3 * 11
529 = 23^2
530 = 2 * 5 * 53
531 = 3^2 * 59
532 = 2^2 * 7 * 19
533 = 13 * 41
534 = 2 * 3 * 89
535 = 5 * 107
536 = 2^3 * 67
537 = 3 * 179
538 = 2 * 269
539 = 7^2 * 11
540 = 2^2 * 3^3 * 5