Locus

[ukster]

Locus 1593 keer bekeken

PQ=10
P altijd op de x-as
Q altijd op de functie y=x²-5
1.Locusvergelijking van het middelpunt M ?
2.Coördinaten Locusextremen ?
(√15,5),(-√15,5) er zijn er nog twee waar ik niet uitkom!

[RedCat]

Stel

\(q_x = t\)

dan is

\(q_y = t^2-5\)

Uit het gegeven:

\(p_y = 0\)

en

\((p_x-q_x)^2 + (p_y - q_y)^2 = 10^2\)

volgt:

\((p_x - t)^2 + (t^2-5)^2 = 10^2\)

en hiermee kunnen we p_x uitdrukken in t.
Verder is

\(m_x = \frac{1}{2}(p_x + q_x)\)

\(m_y = \frac{1}{2}(p_y + q_y)\)

Hiermee zijn ook m_x en m_y uit te drukken in t.

De extremen van de curve m = (m_x(t), m_y(t)) vinden we via de afgeleiden.

Kom je hiermee verder?

PS: vergeet de extremen van min(m_x) en max(m_x) niet.



Ter controle: hier een plaatje van curve m (in rood: p_x > q_x, in blauw p_x < q_x):

[RedCat]

PPS:
Snelle oplossing voor minima in y-richting:

\(m_y = \frac{1}{2} q_y\)

en het minimum van q_y = -5
dus het minimum van m_y = -2.5
De bijbehorende m_x waarden zijn eenvoudig (via driehoeksmeetkunde) te bepalen.

[ukster]

Bedankt..
dus extremen op (√15,5) (√75/2,-2.5) en (7.6009,1.6411)
ik vond (cartesisch):

Locusvergelijking 1407 keer bekeken

maar het lukte me niet hiermee de extremen te vinden....

[RedCat]

Uit

\(\left(x-\sqrt{25-y^2}\right)^2-2y-5 = 0\)

volgt

\(\left(x-\sqrt{25-y^2}\right)^2=2y+5\)

\(x-\sqrt{25-y^2}=\pm \sqrt{2y+5}\)

\(x=\sqrt{25-y^2} \pm \sqrt{2y+5}\)

Uit de eerste wortel volgt: -5 ≤ y ≤ 5, uit de tweede -2.5 ≤ y,
dus -2.5 ≤ y ≤ 5
waarmee we min(y) en max(y) (en hun bijbehorende x-waarden) hebben.


Noot:
Jouw formule geeft niet de volledige curve van m:
in groen

\(x=\sqrt{25-y^2} + \sqrt{2y+5}\)

in zwart

\(x=\sqrt{25-y^2} - \sqrt{2y+5}\)

Het blauwe gedeelte ontbreekt (= de negatieve (=tegengestelde) x-waarden van deze 2 formules):

[ukster]

klopt helemaal..