Afgeleiden

[Human]

Als de eerste afgeleide van twee verschillende functies identiek zijn, is het dan zo dat de twee functies ook identiek zijn
op een constante na ?

[Math-E-Mad-X]

Nee, als het domein van die twee functies niet samenhangend is, dan hoeft dat niet zo te zijn.

Bijvoorbeeld: stel dat a,b en c drie verschillende constanten zijn, en we definieren de volgende twee functies:

\( f(x) = \begin{cases}
a\ \text{als}\ x < 0 \\
\text{ongedefinieerd als}\ x=0 \\
b\ \text{als}\ x > 0
\end{cases}
\ \\
g(x) = \begin{cases}
c\ \text{als}\ x < 0 \\
\text{ongedefinieerd als}\ x=0\\
c\ \text{als}\ x > 0
\end{cases} \)

Het domein van deze functies is de verzameling \(\mathbb{R}\setminus \{0\}\), dus er zit een 'gat' in het domein (het getal 0). We zeggen dan dat het domein niet samenhangend is.

[Human]

Dank U ,

Begrijp ik, maar als beide functies continue zijn .... is mijn uitgangspunt dan juist ?

[Math-E-Mad-X]

Als de functies beide continu en differentieerbaar zijn op hun gehele domein, en hun domein is samenhangend, dan lijkt me dat jouw uitgangspunt juist is.

Merk op dat de uitspraken "de functie is continu" en "het domein van de functie is samenhangend" twee verschillende uitspraken zijn.

De functies hierboven, bijvoorbeeld, zijn gewoon continu. In tegenstelling tot de volgende functie:

\( h(x) = \begin{cases}
a\ \text{als}\ x \leq 0 \\
b\ \text{als}\ x > 0
\end{cases} \)

deze is namelijk niet continu, maar heeft wel een samenhangend domein. Het verschil zit hem in het feit dat we in de definitie van \(h\) het getal 0 wel tot het domein rekenen terwijl we dat in de definitie van \(f\) niet doen. Ik geef toe dat het een nogal flauw verschil is, maar in de wiskunde moet men nou eenmaal precies zijn.

[tempelier]

Het is denk ik mogelijk met een goede aanpassing het gewenste voor "stuksgewijs vast te leggen.