Manifolds, Groups, Bundles, and Spacetime

[Professor Puntje]

Ik ben nu het boek Manifolds, Groups, Bundles, and Spacetime van R. Dale Gray aan het lezen. Dat is pittige kost. Om te voorkomen dat ik vastloop wil ik in dit topic zelf wat lastige punten narekenen.

[Professor Puntje]

Opgave 2.1.37 wil ik hier maken.

[Professor Puntje]

Eerst eens nagaan wat al die termen betekenen. E³ is een 3-dimensionale vectorruimte met een positief-definiet inwendig product < | >. En een inwendig product < | > van een vectorruimte V noemen we positief-definiet precies dan wanneer <x|x> > 0 voor alle x ≠ 0 in V.

[Professor Puntje]

Volgende punt:

\(\)

\( \mathbf{1} = \sum_{i=1}^3 \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_i \)

\(\)

Wat stelt dat voor?

[CoenCo]

Je bedoelt die operator? Het “tensor product”
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Tensor_product

[Professor Puntje]

Het teken ⊗ staat voor het zogeheten tensorproduct. Als A een (r,s)-tensor is en B een (t,u)-tensor (beide voor eenzelfde vectorruimte V over R) dan is A⊗B de (r+t,s+u)-tensor (eveneens voor V over R) waarvoor: (A⊗B)(τ¹, ... , τ^r+t, x₁ ... x_s+u) = A(τ¹, ... , τ^r, x₁ ... x_s) . B(τ^r+1, ... , τ^r+t, x_s+1 ... x_s+u).

@CoenCo

Dank. Het gaat denk ik hier meer specifiek over het tensorproduct van twee tensoren. Iets anders is in het boek nu nog niet behandeld.

[Professor Puntje]

Verder zijn e₁, e₂ en e₃ eenheidsvectoren van de Euclidische ruimte E³. Maar om daar tensorproducten van te nemen moeten we die eenheidsvectoren als tensoren beschouwen. Dit kan bijvoorbeeld door de e_i door de functionalen < _ | e_i> te vervangen. Maar of dat de bedoeling is?

[flappelap]

Volgende punt:

\(\)

\( \mathbf{1} = \sum_{i=1}^3 \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_i \)

\(\)

Wat stelt dat voor?

Dat het tensorproduct van (1,0,0) met zichzelf plus het tensorproduct van (0,1,0) met zichzelf etc. de identiteitsoperator/eenheidsmatrix oplevert. Bv,

\(\)

\( \mathbf{e}_1 \otimes \mathbf{e}_1 \)

\(\)

levert een matrix X op met X_11 =1 en de rest nul, enz.

[Professor Puntje]

Maar hoe zie je dat via de gegeven definitie van het tensorproduct in?

[flappelap]

Verder zijn e₁, e₂ en e₃ eenheidsvectoren van de Euclidische ruimte E³. Maar om daar tensorproducten van te nemen moeten we die eenheidsvectoren als tensoren beschouwen. Dit kan bijvoorbeeld door de e_i door de functionalen < _ | e_i> te vervangen. Maar of dat de bedoeling is?

Dat denk ik wel, waarbij de basisvectoren van de vectorruimte en z'n duale orthonormaal zijn. Je kunt het echter ook eenvoudig via de componenten definiëren, maar die volgen eigenlijk uit de formele definitie van tensoren als multilineaire afbeeldingen.

[flappelap]

Maar hoe zie je dat via de gegeven definitie van het tensorproduct in?

Laat het tensorproduct inwerken op twee duale basisvectoren.

[Professor Puntje]

Ik probeer voor mijzelf wat helderheid te scheppen. Klopt de volgende overweging?

Tensoren over een vectorruimte V zijn zelf geen (multidimensionale) matrices maar de in arrays gerangschikte componenten van tensoren over V ten opzichte van een gekozen basis van V zijn dat wel. Dergelijke matrices kunnen tensoren representeren en men kan bewerkingen op tensoren ook via die matrix-represetaties uitvoeren.

[flappelap]

Ja, zo zou ik het ook verwoorden. De definitie ervan is volledig coordinaatonafhankelijk, dus als abstract object maalt het niet om je coordinaatkeuze. Dit in tegenstelling tot je basis en componenten.

[flappelap]

1.jpg2.jpg

Opgave 2.1.37 wil ik hier maken.

Daarvoor kun je volgens mij de componenten I^ij in je 2e afbeelding gewoon vermenigvuldigen met de basis, die hier het tensorproduct is van de twee sets basisvectoren. Daarom staat de identiteit er ook als tensorproduct in je voorbeeld in de 1e afbeelding; de Kronecker delta geeft je dan de som van i=1 t/m i=3.

Wat mij wel es verwarde in het begin: de {ij} op I labelen componenten; op de basis e labelen ze echter complete vectoren. Dat laatste geef ikzelf meestal aan met haakjes, (i), hoewel de boldface het ook al aangeeft natuurlijk.

[Professor Puntje]

Ik ga eerst even overdreven precies en stap voor stap uitwerken wat er gebeurt totdat ik het goed begrijp, later kan de notatie dan weer wat nonchalanter worden.

Laat \( \mathfrak{e}_i \) voor i=1 t/m 3 de afbeelding van \( E^3 \) (met basis {e₁,e₂,e₃}) naar \( \mathbb{R} \) zijn waarvoor voor alle \( \mathbb{x} \in \mathbb{R} \) geldt dat:

\(\)

\( \mathfrak{e}_i(\mathbf{x}) \, = \, \langle \mathbf{x} | \mathbf{e}_i \rangle \)

\(\)

Dan is \( \mathfrak{e}_i \) een (0,1)-tensor.