Kronecker delta's

[Professor Puntje]

Is onderstaande wel steeds waar?

\(\)

\( \delta_a^b \delta_b^c \delta_c^d = \delta_a^d \)

\(\)

In een leerboek wordt gevraagd dit te bewijzen, maar ik vraag mij af of dat altijd opgaat...

[Math-E-Mad-X]

In eerste instantie leek het mij ook niet te kloppen, immers, als \(a = d\) en \(b \neq c\) dan is de linkerkant 0, terwijl de rechterkant 1 is.

Echter, het feit dat ze onder- en boven-indices gebruiken doet mij vermoeden dat ze de Einstein sommatie conventie gebruiken. In dat geval is de linkerkant dus niet het gewone product van drie symbolen, maar een sommatie over producten met alle mogelijke waarden van b en c. In dat geval klopt de vergelijking wel, want aan de linkerkant staat dan feitelijk gewoon het product van drie identiteitsmatrices, en aan de rechterkant nogmaals de identiteitsmatrix.

[Professor Puntje]

Aha! Maar goed dat ik het hier even gevraagd heb, want dat hier de Einstein sommatie conventie gebruikt is had ik zelf niet bedacht.

[flappelap]

Je kunt gewoon de eerste twee kronecker delta's om schrijven naar delta_a^c, en contraheren met de derde geeft de gelijkheid.

[flappelap]

Aha! Maar goed dat ik het hier even gevraagd heb, want dat hier de Einstein sommatie conventie gebruikt is had ik zelf niet bedacht.

Die wordt vrijwel altijd toegepast in boeken over de algemene relativiteitstheorie.

[flappelap]

Je kunt bij twijfel eventueel links en rechts met een testvector V^a contraheren.

[Professor Puntje]

Met dat contraheren gaat mij allemaal nog wat te snel. Eerst moet ik dan al inzien dat de Kronecker delta als een tensor beschouwd kan worden.

[tempelier]

Volgens mij zijn het geen echte tensoren ook al lijken ze het te zijn.

[Professor Puntje]

Ze kunnen wel als een getallenblok van enen en nullen gezien worden, maar dan is het de vraag wat voor verband er is met een gekozen coördinatenstelsel.

[Math-E-Mad-X]

Je kan ze wel degelijk als echte tensoren zien (in de natuurkundige zin van het woord), maar als je de transformatieregels toepast, dan blijkt dat de kronecker-delta (a.k.a. de identeitsmatrix) exact hetzelfde blijft onder een willekeurige coordinatentransformatie.

Het blijft dus altijd hetzelfde blok van enen en nullen, ongeacht welk coordinatenstelsel je kiest.

[Professor Puntje]

Maar er is in de gebruikelijke definitie van de Kronecker delta toch niets verondersteld over een eventuele afhankelijkheid een gekozen coördinatenstelsel? Om er een tensor van te maken lijkt mij een aangepaste definitie nodig.

[Professor Puntje]

Maar wat op internet rondgesnuffeld. Is het de bedoeling dat we de Kronecker delta als tensor aldus opvatten?

\(\)

\( \delta_b^a \, := \, \frac{\partial x^a}{\partial x^b} \)

\(\)

Die definitie levert voor ieder coördinatenstelsel x¹, x² , ... , xⁿ een vierkant blok van n² enen en nullen.

[flappelap]

Volgens mij zijn het geen echte tensoren ook al lijken ze het te zijn.

Het zijn bona fide tensoren. Transformeer de componenten maar es. Als deze multilineair transformeren blijven de componenten 0 of 1.

[flappelap]

Maar wat op internet rondgesnuffeld. Is het de bedoeling dat we de Kronecker delta als tensor aldus opvatten?

\(\)

\( \delta_b^a \, := \, \frac{\partial x^a}{\partial x^b} \)

\(\)

Die definitie levert voor ieder coördinatenstelsel x¹, x² , ... , xⁿ een vierkant blok van n² enen en nullen.

Die definitie is toch equivalent aan de gebruikelijke?

[flappelap]

Maar er is in de gebruikelijke definitie van de Kronecker delta toch niets verondersteld over een eventuele afhankelijkheid een gekozen coördinatenstelsel?

Nee, en dat hoeft ook niet. Transformeer maar es.

Bij een ander gerelateerde 'tensor', namelijk de levi-civita tensor,

https://nl.wikipedia.org/wiki/Levi-civita-symbool

is er een subtiliteit; daar krijg je bij transformeren te maken met de determinant van de coördinatentransformatie. Alleen als deze 1 is, zoals bij l Lorentz transformaties, is het ding een tensor. Daarom wordt het ook vaak een symbool genoemd.

Dit motiveert weer de definitie van tensordichtheden, maar dat kom je nog wel tegen in d'Inverno