Afstand tussen twee punten in hogere dimensies

[Valerion]

Dag allemaal

Ik kan de afstand tussen twee punten berekenen in 2D en 3D.

Volgens het handboek dat is gebruik (Calculus van Robert Adams). Kan de afstand tussen twee punten P = (x1,y1,z1,w1) en Q(x2,y2,z2,w2) in vier dimensies berekend worden met de formule. Voor een n-ruimte is de formule gelijkaardig met n termen onder de wortel.

r = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)² + (w₂-w₁)²)



Waarom mag dit? Ik vind in het handboek en online geen formeel bewijs hiervan terug. Ik leer niet graag dingen vanbuiten.


Groetjes

Valerion

[flappelap]

Dit mag als de ruimte Euclidisch is, net als R2 en R3; Rn is daarvan een veralgemenisering, net als wanneer je van R2 naar R3 gaat. Maar er zijn nog vele andere manieren om afstanden ("normen") te definiëren. Elke norm definieert z'n eigen type ruimte.

Zo heb je b.v. de Minkowski ruimte-tijd. Daarin is de norm niet degene die jij geeft.

[Valerion]

*Vergeten vermelden dat ik dit vraag in het kader van Euclidisch ruimtes.

Waarom mag dit dus in een Euclidische ruimte? Waar komt die veralgemening vandaan? Is daar een formeel bewijs voor?
Voor R2 naar R3 begrijp ik hoe men er aan komt.

[tempelier]

Dit mag als de ruimte Euclidisch is, net als R2 en R3; Rn is daarvan een veralgemenisering, net als wanneer je van R2 naar R3 gaat. Maar er zijn nog vele andere manieren om afstanden ("normen") te definiëren. Elke norm definieert z'n eigen type ruimte.

Zo heb je b.v. de Minkowski ruimte-tijd. Daarin is de norm niet degene die jij geeft.

Een norm is net het zelfde als een metriek.
Is er een norm dat kan men die gebruiken om een metriek vast te leggen.

M<en kan echter een nier genormeerde ruimte altijd van een metriek voorzien.

[Xilvo]

Neem twee punten \(P(x_p,y_p,z_p)\) en \(Q(x_q,y_q,z_q)\) in een euclidische 3-dim ruimte.
Stel voor het gemak \(z_p=0\), dat kun je altijd doen door de punten 'omhoog' of 'omlaag' (langs de z-richting) te schuiven zonder dat hun onderlinge afstand verandert.

Bepaal de afstand d tussen P en de projectie van Q op het x-y vlak.
Dat is (twee-dimensionaal) Pythagoras, \(d=\sqrt{(x_p-x_q)^2+(y_p-y_q)^2}\)

Trek die lijn tussen \((x_p,y_p,0)\) en \((x_q,y_q,0)\)
P is het eerste punt, Q ligt \(z_q\) boven het tweede punt.
Je hebt een nieuwe rechthoekige driehoek met rechthoekszijden \(d\) en \(z_p\)
Pas daarop Pythagoras toe om de afstand a tussen P en Q te vinden.
Dat geeft \(a=\sqrt{d^2+z_q^2}=\sqrt{(x_p-x_q)^2+(y_p-y_q)^2+(z_p-z_q)^2}\)

Voor hogere dimensies kun je het trucje herhalen.

[flappelap]

Dit mag als de ruimte Euclidisch is, net als R2 en R3; Rn is daarvan een veralgemenisering, net als wanneer je van R2 naar R3 gaat. Maar er zijn nog vele andere manieren om afstanden ("normen") te definiëren. Elke norm definieert z'n eigen type ruimte.

Zo heb je b.v. de Minkowski ruimte-tijd. Daarin is de norm niet degene die jij geeft.

Een norm is net het zelfde als een metriek.
Is er een norm dat kan men die gebruiken om een metriek vast te leggen.

M<en kan echter een nier genormeerde ruimte altijd van een metriek voorzien.

Ja, je hebt gelijk; een metriek is algemener.

[HansH]

Dit mag als de ruimte Euclidisch is, net als R2 en R3; Rn is daarvan een veralgemenisering, net als wanneer je van R2 naar R3 gaat. Maar er zijn nog vele andere manieren om afstanden ("normen") te definiëren. Elke norm definieert z'n eigen type ruimte.

Zo heb je b.v. de Minkowski ruimte-tijd. Daarin is de norm niet degene die jij geeft.

volgens mij maak je het onnodig ingewikkeld en daarom verwarrend door 2 stappen tegelijk te doen. De vraag ging in eerste instantie niet over gekromde ruimtes, maar over toevoegen van dimensies. Dus ik zou daar beginnen met het antwoord want dat antwoord was er volgens mij nog niet waarom je de redenatie mag doortrekken van 2D naar 3D naar nD. Dan zou daarna de volgende stap kunnen zijn om te kijken naar gekromde ruimtes.

[HansH]

Neem twee punten \(P(x_p,y_p,z_p)\) en \(Q(x_q,y_q,z_q)\) in een euclidische 3-dim ruimte.
Stel voor het gemak \(z_p=0\), dat kun je altijd doen door de punten 'omhoog' of 'omlaag' (langs de z-richting) te schuiven zonder dat hun onderlinge afstand verandert.

Bepaal de afstand d tussen P en de projectie van Q op het x-y vlak.
Dat is (twee-dimensionaal) Pythagoras, \(d=\sqrt{(x_p-x_q)^2+(y_p-y_q)^2}\)

Trek die lijn tussen \((x_p,y_p,0)\) en \((x_q,y_q,0)\)
P is het eerste punt, Q ligt \(z_q\) boven het tweede punt.
Je hebt een nieuwe rechthoekige driehoek met rechthoekszijden \(d\) en \(z_p\)
Pas daarop Pythagoras toe om de afstand a tussen P en Q te vinden.
Dat geeft \(a=\sqrt{d^2+z_q^2}=\sqrt{(x_p-x_q)^2+(y_p-y_q)^2+(z_p-z_q)^2}\)

Voor hogere dimensies kun je het trucje herhalen.

als ik jou truukje goed begrijp dan ga je van een 3D volume naar een 2dimensionaal vlak in een 3D ruimte. Dus feitelijk is het 2d vlak een byzonder geval waarbij je 1 dimensie weg kunt laten bij de wortel uit de som van de kwadraten. Maar die redenatie maakt het voor mij nog niet logisch dat daar dan ook uit volgt dat je naar een hogere dimensie er gewoon 1 term bijkrijgt, immers iets weglaten zegt nog niets over dat je bij het uitbreiden naar een hogere dimensie iets toe moet voegen.

[Xilvo]

Maar die redenatie maakt het voor mij nog niet logisch dat daar dan ook uit volgt dat je naar een hogere dimensie er gewoon 1 term bijkrijgt, immers iets weglaten zegt nog niets over dat je bij het uitbreiden naar een hogere dimensie iets toe moet voegen.

Je weet dat Pythagoras toepasbaar is in een 2-dim ruimte.

Je hebt twee punten \(P=(p_1,p_2,...,p_n)\) en \(Q=(q_1,q_2,...,q_n)\) in een n-dim ruimte.
Neem aan dat de afstand d tussen de projectie van die twee punten op een (n-1)-dim \(d=\sqrt{(p_1-q_1)^2+(p_2-q_2)^2+...+(p_{n-1}-q_{n-1})^2}\) is.
De n-de dimensie staat loodrecht op de lijn tussen die projecties (orthonormale basis) en de lijn tussen \((0,0,...,p_n)\) en \((0,0,...,q_n)\) vormt een rechthoekige driehoek met die projectie.
Dan is de afstand tussen de punten \(a=\sqrt{d^2+(p_n-q_n)^2}\)

Als Pythagoras geldt in een n-dim ruimte dan geldt die ook in een (n+1)dim ruimte.
Je weet dat die geldt in een 2-dim ruimte. Daarmee is het bewezen (volledige inductie).

[HansH]

Als Pythagoras geldt in een n-dim ruimte dan geldt die ook in een (n+1)dim ruimte.

Dat was nu juist de vraag waarom dat zo is toch? (dat het logisch is dat het zo is is voor mij trouwens niet het punt)

[Xilvo]

Als Pythagoras geldt in een n-dim ruimte dan geldt die ook in een (n+1)dim ruimte.

Dat was nu juist de vraag waarom dat zo is toch? (dat het logisch is dat het zo is is voor mij trouwens niet het punt)

Het bewijs staat hierboven.

[tempelier]

als ik jou truukje goed begrijp dan ga je van een 3D volume naar een 2dimensionaal vlak in een 3D ruimte. Dus feitelijk is het 2d vlak een byzonder geval waarbij je 1 dimensie weg kunt laten bij de wortel uit de som van de kwadraten. Maar die redenatie maakt het voor mij nog niet logisch dat daar dan ook uit volgt dat je naar een hogere dimensie er gewoon 1 term bijkrijgt, immers iets weglaten zegt nog niets over dat je bij het uitbreiden naar een hogere dimensie iets toe moet voegen.

Het is ook niet zo heel erg helder trucje lijkt mij.

Het is beter te starten met hoever een punt van de oorsprong ligt.
(de rest verkrijgen we dan via translatie)

Ook moet er eigenlijk meer gegeven zijn, maar dat kan later wel.

Doe het eerst in de M2 en kijk dan hoe je dat ombouwt in de M3.

Daarna is het niet zo moeilijk meer.

PS.
Kijk goed naar evenwijdigheid.

[Xilvo]

Het is ook niet zo heel erg helder trucje lijkt mij.

Veel helderder krijg je het niet, volgens mij. Je reduceert Pythagoras in n dimensies tot Pythagoras in twee dimensies (wat bewezen is) en Pythagoras in n-1 dimensies. Dat kun je herhalen totdat n-x=2.

Het is beter te starten met hoever een punt van de oorsprong ligt.
(de rest verkrijgen we dan via translatie)

Dat kan maar is niet noodzakelijk.

Ook moet er eigenlijk meer gegeven zijn, maar dat kan later wel.

Wat dan? Dit vind ik nogal vaag.

[tempelier]

Met jouw verhaal krijg je het niet helderder.
Maar het mijn was niet af, de bedoeling was dat Hans H er verder over na zou denken.
Maar als je vind dat ik het helemaal zelf moet doen, wie ben ik dan om jou dat te weigeren?

Het laatste wil ik bewaren tot het eind om nu niet te veel verwarring te stichten.

[Xilvo]

Ik wacht met spanning jouw bewijs af.