Via brute kracht zou het moeten lukken via deze route:
Leg de driehoek in een assenstelsel met A = (0, 0), C op de positieve x-as en B=(Bx, By) met By > 0.
Na vrije keuze van zijden b en c ligt a vast wegens de gulden snede:
b+ca=1+√52⇒a=2(b+c)1+√5
Uit de cosinusregel volgt cos(α):
cos(α)=b2+c2−a22bc
en vervolgens tan(α/2):
tan(α2)=√1−cos(α)1+cos(α)
De straal R van de uitwendige cirkel tegenover A is:
R=√s(s−b)(s−c)s−a
waarbij s = (a+b+c)/2
R is tevens Jy = de y-coordinaat van punt J (= het middelpunt van deze uitwendige cirkel)
J ligt op de lijn y = tan(α/2) * x, dus
Jx=Jytan(α2)
Noem Q het middelpunt van de omgeschreven driehoek (O reserveer ik voor de oorsprong = A), dan is
Qx=b2
en via de formules van
https://en.wikipedia.org/wiki/Circumscr ... rdinates_2:
Qy=c−bcos(α)2sin(α)
cos(α) hadden we al exact, en daarmee hebben we ook sin(α) exact.
Voor de straal r van de omgeschreven cirkel geldt:
r2=Qx2+Qy2
en voor de afstand QJ:
QJ2=(Qx−Jx)2+(Qy−Jy)2
Driehoek QMJ is rechthoekig, dus
MJ=√QJ2−r2
Om P = (Px, Py) te vinden snijden we de lijn l: y = tan(α/2) * x met
de lijn m door B = (c*cos(α), c*sin(α) ) en C = (b, 0):
m:y=ByBx−b⋅x−b⋅ByBx−b
Met Px en Py bepalen we
PJ=√(Px−Jx)2+(Py−Jy)2
en nu zou moeten gelden:
MJ = PJ
Tenslotte nog controleren of deze afleiding de andere kant op ook geldig is.
Het zal een hele klus zijn om dit algebraisch uit te werken, met een getallenvoorbeeld is het eenvoudiger:
kies b = AC = 5 en c = AB = 18 (zoals in bovenstaand plaatje), dan is
a=232(−1+√5)
cos(α)=−889360+529360√5
sin(α)=23180√12(−1947+889√5)
tan(α2)=123√−349+180√5
Jy=R=√18(−147+191√5)
Jx=232√32+12√5
Qx=52
Qy=√10302625160796+145800040199√5
r2=282690040199+145800040199√5
QJ2=463585540199+326695540199√5
MJ=√45⋅(1+√5)
vervolgens:
Px=234(−1+√5)
Py=√18(−1947+889√5)
PJ=√45⋅(1+√5)=MJ