Bezig met laden van [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
Gebruikersavatar
Rik Speybrouck
Artikelen: 0
Berichten: 892
Lid geworden op: do 06 aug 2015, 10:32

Gulden snede

In de twee bijlagen staat een uitwerking die zou moeten resulteren in de gulden snede. Ik zie momenteel nog niet direct een uitweg. De bijlagen maken alles duidelijk.
Bijlagen
DSCN0289
DSCN0288
RedCat
Artikelen: 0
Berichten: 518
Lid geworden op: zo 21 jul 2019, 16:38

Re: Gulden snede

Afbeelding

Via brute kracht zou het moeten lukken via deze route:
Leg de driehoek in een assenstelsel met A = (0, 0), C op de positieve x-as en B=(Bx, By) met By > 0.
Na vrije keuze van zijden b en c ligt a vast wegens de gulden snede:
b+ca=1+52a=2(b+c)1+5
Uit de cosinusregel volgt cos(α):
cos(α)=b2+c2a22bc
en vervolgens tan(α/2):
tan(α2)=1cos(α)1+cos(α)
De straal R van de uitwendige cirkel tegenover A is:
R=s(sb)(sc)sa
waarbij s = (a+b+c)/2
R is tevens Jy = de y-coordinaat van punt J (= het middelpunt van deze uitwendige cirkel)
J ligt op de lijn y = tan(α/2) * x, dus
Jx=Jytan(α2)
Noem Q het middelpunt van de omgeschreven driehoek (O reserveer ik voor de oorsprong = A), dan is
Qx=b2
en via de formules van https://en.wikipedia.org/wiki/Circumscr ... rdinates_2:
Qy=cbcos(α)2sin(α)
cos(α) hadden we al exact, en daarmee hebben we ook sin(α) exact.
Voor de straal r van de omgeschreven cirkel geldt:
r2=Qx2+Qy2
en voor de afstand QJ:
QJ2=(QxJx)2+(QyJy)2
Driehoek QMJ is rechthoekig, dus
MJ=QJ2r2

Om P = (Px, Py) te vinden snijden we de lijn l: y = tan(α/2) * x met
de lijn m door B = (c*cos(α), c*sin(α) ) en C = (b, 0):
m:y=ByBxbxbByBxb
Met Px en Py bepalen we
PJ=(PxJx)2+(PyJy)2
en nu zou moeten gelden: MJ = PJ
Tenslotte nog controleren of deze afleiding de andere kant op ook geldig is.


Het zal een hele klus zijn om dit algebraisch uit te werken, met een getallenvoorbeeld is het eenvoudiger:
kies b = AC = 5 en c = AB = 18 (zoals in bovenstaand plaatje), dan is
a=232(1+5)
cos(α)=889360+5293605
sin(α)=2318012(1947+8895)
tan(α2)=123349+1805
Jy=R=18(147+1915)
Jx=23232+125
Qx=52
Qy=10302625160796+1458000401995
r2=282690040199+1458000401995
QJ2=463585540199+3266955401995
MJ=45(1+5)
vervolgens:
Px=234(1+5)
Py=18(1947+8895)
PJ=45(1+5)=MJ
RedCat
Artikelen: 0
Berichten: 518
Lid geworden op: zo 21 jul 2019, 16:38

Re: Gulden snede

Hier nog wat aanvullende resultaten (op weg naar een elegante oplossing?):
Gulden snede: uit (b+c)/a = φ volgt dat x=(b+c)/a een oplossing is van x²-x-1=0
Invullen van (b+c)/a in deze kwadratische vergelijking levert:
(b+c)2=a(a+b+c)
Hiermee wordt:
tan(α2)=(sc)(sb)s(sa)
Jy=R=stan(α2)
Jx=s
Gebruikersavatar
Rik Speybrouck
Artikelen: 0
Berichten: 892
Lid geworden op: do 06 aug 2015, 10:32

Re: Gulden snede

das een hele uitwerking hoor, proficiat met wat jij allemaal kan.

Terug naar “(Lineaire) Algebra en Meetkunde”