grafiek van verdeling interpreteren

[Jackshirak]

Wanneer ik een grafiek als deze (maar dan met echte waarden) vastheb, wat kan ik dan op de verticale as aflezen? Meestal spreekt men van dichtheid. Maar stel ik lees de waarde 0,75 af bij μ, wat houdt die waarde dan eigenlijk in? Het is volgens mij niet de kans dat μ voorkomt.

[flappelap]

Het oppervlak onder de grafiek geeft een kans weer. De kans dat een kansvariabele tussen X=a en X=b ligt, is het oppervlak tussen a en b.

Op de verticale as staat dus de kans per X oftewel de kansdichtheid, zodat het oppervlak onder de grafiek als 'eenheid' 'kans' heeft. Strikt genomen is de kans dat een waarde voor X exact voorkomt nul, omdat het bijbehorende oppervlak 0 is. Je moet dus altijd een interval meegeven waarin X ligt.

Je kijkt dus niet zozeeer naar de verticale as, maar naar het oppervlak onder de grafiek! Dat totale oppervlak is 1, en dat bepaalt de schaal op de verticale as.

[OOOVincentOOO]

Dit is hoe ik het uit eigen ervaring omschrijf. Wellicht niet wiskundig rigoreus.

De oppervlakte of een deel van de oppervlakte onder de (Gauss) curve is de kans. De \(\small x\)-as en functie is als het ware continu. Er bestaat geen kans op waarde: \(\small x=1.25\) (alle \(x\)-as waarden zijn thans theoretisch mogelijk, oneindig). De \(\small y\)-as is de limiet van:

\(y\approx\dfrac{n}{\Delta x N}\)

Met \(\small n\) is het aantal waarnemingen op waarde \(\small x\) tussen een \(\small \Delta x \), \(\small N\) het totaal aantal waarnemingen. Stel dat de \(\small x\)-as de verdeling van het gewicht van een mens in kilogram. De waarde \(\small n/N\) is eigenlijk een persentage \(\small [\%]\) men deelt dan ook door \(\small \Delta x \).

De eenheid van de \(\small y\)-as word dan: \(\small [\%/kg]\), procent/kans per kilogram.

Merk op dat een discrete verdeling bijvoorbeeld een histogram met staven. Hierbij kan wel de \(\small y\)-as als kans \(\small [\%]\) uitgedrukt worden. Iedere staaf stelt een oppervlakte voor, met een vastgestelde \(\small \Delta x \).

[Jackshirak]

Ik snap het nu, dank jullie wel!

[OOOVincentOOO]

Dit is een goede vraag, en blijft ook voor mij moeilijk te begrijpen. Heb verschillende ideetjes geprobeerd, maar het onderstaande (intuitive) wilde ik toevoegen:

Plot 1:
Bovenstaande plot is de kans verdeling de \(\small pdf\) (probability density function). De oppervlakte is \(\small 1\) onder deze curve de totale kans: \(\small 100\%\).

Plot 2:
De onderstaande grafiek is de integraal (de oppervlakte onder de \(\small pdf\)), opgeteld van links naar rechts. Het oppervlakte is \(\small 1\) voor oneindige \(\small x\) dat is dezelfde \(\small 100\%\). Dit word de \(\small cdf\) (cumulatieve distribution function) genoemd. Deze is uitgedrukt in hoofdletter \(\small Y\) in dit voorbeeld.

De \(\small pdf\) is de afgeleide van de \(\small cdf\). Een afgeleide is de richting coefficient van de raaklijn op alle waarden van \(\small x\). Dus de richting coefficient van de raaklijn aan \(\small cdf\) word bepaald door de \(\small pdf\). De plot is met \(\small \bar{x}=0\) en \(\small \sigma=1\).

Observaties:

• De waarde \(\small y\) van de verdeling op \(\small x\) toont hoeveel de \(\small cdf\) veranderd.

• De piek van de \(\small pdf\) is de plaats van de snelste verandering. Het gemiddelde \(\small \bar{x}\), is voor de Gauss verdeling de plaats van de piek, in dit voorbeeld \(\small x=0\). Hier is de raaklijn het steilst, de verandering in \(\small y\) het grootste.

• Een specifieke waarde \(\small y\) op bijvoorbeeld \(\small x=1.5\) in de \(\small pdf\) (verdeling) toont de verandering aan in de sommatie \(\small cdf\) op \(\small x=1.5\)

[OOOVincentOOO]

Kleine dingetjes verbeterd in grafiekje.
De plot is met \(\small \bar{x}=0\) en \(\small \sigma=1\).

Edits:
Het lijntje bij waarde y is nu correct.
Aangegeven wat richtingscoëfficiënt is.