Welke n⋅t1/2 kun je het beste aflezen bij een vervalkromme?

[jkien]

Als je bij een vervalkromme de halveringstijd wilt aflezen wordt soms geadviseerd om niet direct t_1/2 af te lezen, maar een geheel veelvoud daarvan, n⋅t_1/2, en die tijd door n te delen, ten behoeve van de nauwkeurigheid.

Maar het is onduidelijk wat de beste n⋅t_1/2 is om af te lezen. Misschien degene die het dichtste in de buurt ligt bij het tijdstip waar de raaklijn aan de grafiek een helling van 45 graden heeft?

[physicalattraction]

Het zal inderdaad afhangen van hoe je de grafiek zelf geplot hebt (schaling van x- en y-as), want daar zit de onnauwkeurigheid van het uitlezen in. Ik was aan het denken aan het snijpunt van de grafiek vanuit (0,0) met een hoek van 45 graden. Als ik naar de grafiek kijk komt dat uit op (ongeveer) hetzelfde punt.

[RedCat]

Hier een wat langer antwoord:

De vervalcurve

\(N=N_0\cdot 2^{\frac{-t}{t_{1/2}}}\)

kunnen we herschrijven als

\(\log(N) = \log(N_0) - \frac{t}{t_{1/2}}\cdot \log(2)\)

ofwel

\(\frac{t\cdot \log(2)}{t_{1/2}} = \log(N_0) - \log(N)\)

ofwel

\(t_{1/2} = \frac{t\cdot \log(2)}{ \log(N_0) - \log(N)}\)

Als we voor een punt W ergens op de grafiek de waarden van t en N aflezen,
met maximale afleesfouten van δt resp. δN,
dan wordt de maximale waarde van t_1/2 waar we op uit kunnen komen:

\(t_{1/2}^+ = \frac{(t+\delta t)\cdot \log(2)}{ \log(N_0) - \log(N+\delta N)}\)

en de minimale waarde:

\(t_{1/2}^- = \frac{(t-\delta t)\cdot \log(2)}{ \log(N_0) - \log(N-\delta N)}\)

In dit plaatje loopt de afgelezen curve met t⁺_1/2 er op door punt P,
en die met t^-_1/2 er op door punt Q:

decayerror 2455 keer bekeken

Om de meest betrouwbare waarde van t_1/2 te vinden willen we de bandbreedte

\(B = t_{1/2}^+ - t_{1/2}^-\)

van de aflezing minimaal hebben (= B_min) .
Het tijdstip waarop B minimaal is levert dan de optimale afleestijd t_opt.
In onderstaande grafiek heb ik deze weergegeven voor een aantal vervalcurves met verschillende t_1/2.
De blauwe punten zijn de optimale afleespunten (met δt = 0.05 en δN = 0.05 gekozen):

Via deze weg is voor steile grafieken (t_1/2 = 0.05 met t_opt = 0.25) je factor n ≈ 5,
en voor vlakkere grafieken (bv. t_1/2 = 5 met t_opt = 8.94) je factor n ≈ 2.

In bovenstaande grafieken hebben de rode punten een raaklijn aan de betreffende grafiek met
een hellingshoek van -45º.
Zeker voor de vlakkere curves lezen die veel moeilijker af (in dit geval ligt dit punt voor t_1/2 = 5
zelfs links van de N-as).

[jkien]

Interessant. Jammer dat de analyse geen eenvoudige vuistregel oplevert die werkt zonder deze grafiek te raadplegen, maar daarvoor is het blijkbaar net iets te ingewikkeld.

[RedCat]

Het lijkt allemaal niet zo nauw te luisteren.

Hierboven de N-t-vervalcurve voor t_1/2 = 2, met daar overheen de curves van t_1/2⁺ en t_1/2^- als functie van t.
Als we tevreden zijn met een afleesfout met bandbreedte van maximaal 1.5 * B_min, dan kunnen we t ergens in het groene gebied kiezen.
Op de vervalcurve moeten we de N- en t-waarde dan ergens aflezen in het blauwe gebied (en dus niet in het rode gedeelte van de curve).

Hier het voorbeeld uit mijn vorige post, met nu voor alle vervalcurves bovenstaande blauw-rood codering:

De paarse lijn staat onder een hoek van 15° met de t-as.
Als vuistregel zou je kunnen nemen:
Bepaal het snijpunt van je curve met deze paarse lijn, en kijk bij welke (groene) horizontale N/2^k-lijn dat punt het dichtste ligt. Lees t dan af in het snijpunt van die groene lijn met je curve.

Overigens, mocht je echt wat nauwkeuriger de t_1/2 willen bepalen, dan lijkt me iets als een regressie-analyse van de punten van de grafiek meer aangewezen.