reeksontwikkeling

[aadkr]

Wat verstaan we onder uniforme convergentie van een reeks?

[wnvl1]

De definitie met het supremum zal wel in het boek staan, maar een voorbeeld is misschien verduidelijkend.

Beschouw

$$f_n(x) = 1/n \cdot x$$

in \(\mathbb{R}\).

Puntsgewijs heb je wel convergentie naar 0 voor grote waarden van n. Maar de rij convergeert niet uniform, omdat elke functie fn toch uiteindelijk steeds naar oneindig gaat voor grote waarden van x, en dus gaat het supremum nooit 0 worden.

[aadkr]

[wnvl1]

Hint: Bazel probleem.

[tempelier]

img376.jpg

Hoe Euler het heeft opgelost weet ik niet, vermoedelijk met complexe functies.

Het kan echter ook worden opgelost met Fourier.

[aadkr]

Ln(1+x)=x-1/2.x^2+1/3.x^3-1/4.x^4+....
Wil iemand dit met de taylorformule afleiden want ik begrijp er niets meer van Als je stelt dat x=1 dan krijg je Ln(2)=1-1/2+1/3-1/4+1/5- ( hoe zie je dan dat de limiet naar Ln2 gaat. Ik begrijp er niets van

[wnvl1]

Begin eens met de eerste afgeleide van ln(1+x) te berekenen...

[tempelier]

Het kan ook via de integraal definiet zonder Tayler.

zie: https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_logarithm

[ukster]

Ln(1+x)=x-1/2.x^2+1/3.x^3-1/4.x^4+....
Wil iemand dit met de taylorformule afleiden want ik begrijp er niets meer van Als je stelt dat x=1 dan krijg je Ln(2)=1-1/2+1/3-1/4+1/5- ( hoe zie je dan dat de limiet naar Ln2 gaat. Ik begrijp er niets van

Taylorapproximation 7140 keer bekeken

[Bart23]

img376.jpg

Euler heeft feitelijk 3 bewijzen gevonden. Het eerste, toen hij 28 jaar was, is uit 1735 gaat als volgt:
1) Beschouw de formule die sin(πx) uitdrukt al oneindig product van eerstegraadsfactoren
2) Beschouw de Taylorreeks voor sin(πx)
3) Werk het oneindige product uit en neem de termen met dezelfde macht van x samen
4) vergelijk nu de term in x³ uit die laatste uitwerking met de term in x³ van de Taylorreeks: die moeten gelijk zijn. QED!
Naar moderne maatstaven is dit bewijs wel wat 'slordig' (bv mag je wel een oneindig product zo uitwerken?), maar Euler was een held in dit soort berekeningen juist uit te voeren. Nu zijn er stellingen die deze stappen rechtvaardigen, hij deed het intuïtief juist.

Aad, waar zit je juist vast in je gevecht met ln(x+1)?

[aadkr]

eerst ga ik reageren op het bericht van wnvl1 van 1 september

[aadkr]

[aadkr]

Als ik een functie heb waarom zou je dan de reeksontwikkeling van taylor gebruiken, want de ontwikkeling van mc.laurin is veel eenvoudiger.

[aadkr]

snapt iemand hier nog wat van?

[wnvl1]

De convergentiestraal van een McLaurin reeks voor ln(1+x) is 1. Voor x=-1 gaat die reeks niet meer convergeren. Als je dus een substitutie doet x->x-1, dan mag je nadien x niet gelijk aan nul stellen.