Sommatie reeks

[PhilipVoets]

Als antwoord op de onderstaande vraag, kom ik na enig algebraïsch herschikken uit op: 1/4^0 - 1/4^1 + 1/4^2 - 1/4^3 + 1/4^4 - … Door uitrekenen van de eerste (relevante) termen kom ik dan uit op ongeveer 0,8 (dus 80%). Is er een manier om deze reeks, dus: sommatie van de reeks 1/4^2n, te starten met n = 0, min de reeks 1/4^(2k-1), te starten met k = 1 (leek mij?), handig te sommeren of gewoon “brute kracht”, haha? Mensen met meer wiskunde-ervaring dan ik zullen hier vast een truc voor hebben

[Xilvo]

Je krijgt dan \(1+\frac{1}{16}+\frac{1}{16^2}+...\)
en \(-\frac{1}{4} (1+\frac{1}{16}+\frac{1}{16^2}+...)\)

Twee meetkundige reeksen, met voor beide de som tussen haakjes gelijk aan \(\frac{1}{1-a}\) met \(a=\frac{1}{16}\)
Dan kom je inderdaad op 0,8.

[PhilipVoets]

Dank!

[EvilBro]

Zo zou ik het doen:

\(A = \left(\frac{1}{4}\right)^0 - \left(\frac{1}{4}\right)^1 + \left(\frac{1}{4}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^3 + \cdots \)

\(-\frac{1}{4} \cdot A = -\left(\frac{1}{4}\right)^1 + \left(\frac{1}{4}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^3 + \left(\frac{1}{4}\right)^4 - \cdots \)

dan geldt dus:

\(A = \left(\frac{1}{4}\right)^0 -\frac{1}{4} \cdot A\)

\(\frac{5}{4} A = \left(\frac{1}{4}\right)^0 = 1\)

\(A = \frac{4}{5}\)

[Bart23]

Of (met x het gekleurde percentage):

\(x=1-\frac14+\frac{1}{16}x\Rightarrow x=\frac45\)

[PhilipVoets]

Elegant!