Even dubbelchecken

[PhilipVoets]

Dag,

Even bewust zonder context en ter controle, gaat dit wiskundig gezien goed (ik denk van wel, maar even verifiëren):

Stel dat geldt: dA = dB/B en C = dA/dt

Dan geldt: C = (dB/B)/dt en dus:

C ∫dt (van t₁ tot t₂) = ∫dB/B (van B(t₁) tot B(t₂))

C(t₂ - t₁) = ln(B(t₂)) - ln(B(t₁)) = ln(B(t₂)/B(t₁))

C = ln(B(t₂)/B(t₁))/(t₂ - t₁)

?

[Bart23]

Waarom zet je C voor het integraalteken? Die zal i.h.a. toch ook van t afhangen?

[PhilipVoets]

Ja, die hoort natuurlijk binnen de integraal te staan. Klopt de afleiding verder wat jou betreft?

[PhilipVoets]

De vraag is namelijk hoe ik een tijdsafhankelijke C in dit voorbeeld over dt integreer, hoe de primitieve van C eruit ziet..

[PhilipVoets]

Of is het juist te stellen dat, aangezien geldt: ∫ C(t)dt over t1 tot t2 = C_gemiddeld(t2 - t1), dat:

Stel dat geldt: dA = dB/B en C = dA/dt

Dan geldt: C = (dB/B)/dt en dus: ∫C(t)dt (van t1 tot t2) = ∫dB/B (van B(t1) tot B(t2))

C_gemiddeld(t2 - t1) = ln(B(t2)) - ln(B(t1)) = ln(B(t2)/B(t1))

C_gemiddeld = ln(B(t2)/B(t1))/(t2 - t1)

?

Volgens mij zou dat wel moeten kloppen

[flappelap]

Ja, die hoort natuurlijk binnen de integraal te staan. Klopt de afleiding verder wat jou betreft?

Nee, want je behandelt C dan als constante. Je oplossing hangt dan ook niet van t af, maar alleen van zekere integratiegrenzen.

[PhilipVoets]

Ja, dat realiseerde ik me ook (te laat). Haha, tien jaar geleden had ik mezelf hier vierkant voor uitgelachen, maar goed, als je jezelf hier jarenlang niet meer mee bezighoudt, zakt e.e.a. soms wat weg.
Maar als ik zeg: ∫C(t)dt over t1 tot t2 = C_gemiddeld(t2 - t1), dan is dat toch wel correct (zie mijn vorige reactie)? Hierin is C_gemiddeld dan de gemiddelde waarde van C(t) in het traject t1 tot t2. De integraal van de tijdsafhankelijke C(t) over dat traject is immers gelijk aan de oppervlakte onder de curve en dus gelijk aan C_gemiddeld(t2 - t1).
Dan zou C_gemiddeld = ln(B(t2)/B(t1))/(t2 - t1) wel moeten kloppen.

[flappelap]

Je opmerking over Cgemiddeld klopt, maar hoe je aan die uitdrukking in termen van B komt is me nog niet duidelijk.

Als dA=dB/B, dan A = ln(B) + const. Blijkbaar geldt ook A=A(t) en dus B=B(t). Dus ook

C = dA/dt = (1/B)* dB/dt

Dat kan ik niet rijmen met jouw uitdrukking, maar ik doe dit snel op de telefoon en wellicht zie ik wat over het hoofd.

[PhilipVoets]

C = dA/dt = (1/B)* dB/dt (jouw formulering) is toch hetzelfde als C = dA/dt = (dB/B)/dt, maar dan iets anders geschreven?
Dus dan: ∫C(t)dt (van t1 tot t2) = ∫(1/B)dB (van B(t1) tot B(t2)), waaruit volgt:
C_gemiddeld(t2 - t1) = ln(B(t2)) - ln(B(t1)) = ln(B(t2))/B(t1)), toch?

[flappelap]

Ah ja, volgens mij klopt dat inderdaad. Je kunt de integraal van (1/B)dB/dt over dt inderdaad schrijven als de integraal van (1/B) over dB, waarbij je de integratiegrenzen aanpast.

[PhilipVoets]

Ah ja, volgens mij klopt dat inderdaad. Je kunt de integraal van (1/B)dB/dt over dt inderdaad schrijven als de integraal van (1/B) over dB, waarbij je de integratiegrenzen aanpast.

Dank, ik dacht al even dat ik de plank helemaal aan het misslaan was. Dus (even voor de zekerheid) de uitdrukking C_gemiddeld = ln(B(t2)/B(t1))/(t2 - t1) klopt?

[flappelap]

Ja, volgens mij wel.

[EvilBro]

Stel dat geldt: dA = dB/B en C = dA/dt

Dan geldt: C = (dB/B)/dt

Ik vraag mij af of het hier niet gewoon misging. dA/dt is immers geen breuk. Het is dus ook niet mogelijk om dA te vervangen door dB/B. Als er initieel gekozen was voor een andere notatie dan was dit ook nooit in iemand opgekomen, bijvoorbeeld:

\(C = \dot{A} \mbox{ of } \frac{d}{dt} A\)

Kan iemand uitleggen waarom wat hier gebeurt wel wiskundig gezien verantwoord is?

[PhilipVoets]

Ik verkeerde in de veronderstelling dat die substitutie gewoon wiskundig correct was, maar sta open voor een tegengeluid.

[PhilipVoets]

Ja, volgens mij wel.

Dank!