Raadsel: water aangedreven machine

[wnvl1]

Een thermodynamisch raadsel...

Een wateraangedreven machine krijgt een waterstroom binnen van \(1kg/m^3\) met koud water op temperatuur \(T_1=293K\) en een tweede waterstroom met warm water op \(T_2=373K\) met debiet \(1kg/m^3\). Beide waterstromen komen binnen met verwaarloosbare snelheid. Het water verlaat de machine met temperatuur T.
Wat is de maximale snelheid waarmee de machine het water kan uitspuwen. C water is 4186J/kgK.

[ukster]

v=√200 m/s als ik chatgpt mag geloven.

[wnvl1]

Nee, dat klopt niet. Had ze ook tussenstappen?

[ukster]

op de vraag "wat is de maximale snelheid van water uit een machine waarin een koud waterstroom en een warmwaterstroom samenkomen bij lage snelheid bij gelijk debiet" concludeert Chatgpt:
Onder de aanname van gelijke debieten en lage snelheden zal de maximale snelheid van het gemengde water gelijk zijn aan de snelheid van de individuele koude en warme stromen. De snelheid verandert dus niet significant door het mengen bij gelijk debiet en lage snelheid. Dit is natuurlijk een benadering en houdt geen rekening met meer complexe factoren zoals drukverliezen, turbulentie of warmte-uitwisselingseffecten die in de praktijk kunnen optreden.

[boertje125]

bijzondere eenheden voor een debiet
bedoel je met snelheid de verplaatsing of een hoeveelheid per tijdseenheid?

ik zal wel iets missen

[wnvl1]

bijzondere eenheden voor een debiet
bedoel je met snelheid de verplaatsing of een hoeveelheid per tijdseenheid?

ik zal wel iets missen

De eenheden van het debiet moeten uiteraard zijn kg/s.

Met snelheid bedoel ik de snelheid van het water in m/s. Het uitgaande debiet is uiteraard 2 kg/s.

[wnvl1]

op de vraag "wat is de maximale snelheid van water uit een machine waarin een koud waterstroom en een warmwaterstroom samenkomen bij lage snelheid bij gelijk debiet" concludeert Chatgpt:
Onder de aanname van gelijke debieten en lage snelheden zal de maximale snelheid van het gemengde water gelijk zijn aan de snelheid van de individuele koude en warme stromen. De snelheid verandert dus niet significant door het mengen bij gelijk debiet en lage snelheid. Dit is natuurlijk een benadering en houdt geen rekening met meer complexe factoren zoals drukverliezen, turbulentie of warmte-uitwisselingseffecten die in de praktijk kunnen optreden.

Idee achter de oefening is dat je de vrije energie in de toekomende waterstroom optimaal gebruikt. Alles moet uiteraard wel in overeenstemming blijven met de eerste en de tweede hoofdwet.

[wnvl1]

hints:
1. Toepassen van de eerste HW van de thermodynamica betekent behoud van energie opstellen.
2. Toepassen van de tweede HW van de thermodynamica betekent dat de entropie niet kan dalen.

[HansH]

er komen 2 stromen water binnen van elk 1kg/s meen ik te begrijpen met verwaarloosbare kinetische energie (zeer groot instromend oppervlak dus v=0).
Die mengen tot een temperatuur van (293+273)/2 en komen daarna samen in de uitstroomopening. De flow is dus 2kg/s=A_out x v_out met:
A_out= oppervlak uitstroom opening, v_out= uitstroomsnelheid.
het gaat om de flow in volume eenheden ipv massa dus moet de dichtheid rho_water er nog tussen.: maar die stel ik simpel even op 1.


dus moet gelden:v_out=flow/A_out.
Er is volgens mij geen bovengrens aan de uitstroomsnelheid. alleen zal naarmate A_out kleiner wordt de druk steeds hoger worden en dus de geleverde energie aan de uitstromende straal water. die energie wordt geleverd door de aangevoerde hoeveelheid water omdat die aanvoer ook onder een hogere druk gaat naarmate A_out kleiner wordt.

[wnvl1]

De warmte die door de machine wordt opgenomen is

$$Q= c T_1+c T_2-2 c T$$

Deze warmte kan omgezet worden in kinetische energie

$$Q=2\frac{v^2}{2}$$

Tot zover de eerste hoofdwet.

Nu moet nog berekend worden wat de optimale T is die kan bewerkstelligd worden in overeenstemming met de tweede hoofdwet. De entropie van het universum kan immers niet dalen.

[CoenCo]

Zolang je de druk aan invoerzijde niet specificeert ga ik mee met HansH.
Waarschijnlijk heb je die gewoon op 0 (of atmosferisch) gesteld, maar zo blijkt maar weer dat het verzinnen van een eenduidige opgave ontzettend moeilijk is.

Zie ook de stroomlijn wet van Bernouilli: https://nl.m.wikipedia.org/wiki/Wet_van_Bernoulli

De term rho*g*h lijk je in de opgave niet mee te nemen/specificeren.

[wnvl1]

De toename van de entropie is in het ideale geval

$$\int_{T1}^{T} c \frac{dT}{T} + \int_{T2}^{T} c \frac{dT}{T}= c \ln(\frac{T^2}{T_1T_2)} \geq0$$

Optimale temperatuur T is
$$T=\sqrt{T_1T_2}$$

Dus

$$v_{max}=\sqrt{c(T_1+T_2-2\sqrt{T_1T_2})}=142m/s$$

[wnvl1]

Zolang je de druk aan invoerzijde niet specificeert ga ik mee met HansH.
Waarschijnlijk heb je die gewoon op 0 (of atmosferisch) gesteld, maar zo blijkt maar weer dat het verzinnen van een eenduidige opgave ontzettend moeilijk is.

Ja, bij een examen zou je dat inderdaad moeten specifiëren.

Hier zou je kunnen zeggen dat het op te maken valt uit mijn tekening. Net zoals je ook kan zien dat er quasi geen hoogteverschil is. Inderdaad niet eenvoudig om niets uit het oog te verliezen.

[HansH]

als je de ingangsdruk op 0 zet hoe krijg je dan uberhaupt de situatie dat beide ingangs flows 1kg/s zijn? en wat is dan het uitstroom oppervlak? mij ontgaat dus het hele principe hoe het uberhaupt dan kan stromen. met 140m/s en 2 kg/s ligt het uitstroomoppervlak vast A=2dm3/1400dm=1.4x10^-3 dm2=0.14 cm2. maar om het water te versnellen van praktisch 0 naar 140m/s heb je druk nodig dus die druk moet ook aan de ingang staan. dus kan niet zonder druk aan de ingang lijkt mij.

[wnvl1]

Drukverschil is het hydraulisch equivalent van spanning. Dus als de leidingen in het ideale geval geen weerstand (elektrisch 0 Ohm) hebben kan het water stromen zonder drukverschil (kan stroom vloeien zonder spanningsval). Daar zit geen probleem, denk ik.

Voor bovenstaand optimalisatie heb je de continuïteitsvergelijking niet nodig. De continuïteits vergelijking (inkomend debiet = uitgaand debiet) kan je wel gebruiken om het minimaal uitstromend oppervlak te berekenen.