Driehoek

[PhilipVoets]

Nog een vraag uit een eerdere nationale finale van de Wiskunde-olympiade: op de parabool y = x^2 liggen drie verschillende punten P, Q en R. Hun loodrechte projecties P′, Q′ en R′ op de x-as liggen op gelijke afstand s uit elkaar: |P′Q′| = |Q′R′| = s. Bepaal de oppervlakte van △PQR in functie van s.
Even los van de precieze oplossing, daar ben ik uitgekomen, de volgende vraag: als gegeven is dat er één universele functie van s voor de oppervlakte van △PQR bestaat, dan kan ik in principe toch volstaan met het bewijzen van één specifieke situatie? Wat daarvoor geldt moet dan immers ook voor de andere situaties gelden, als er maar één universele uitdrukking in s is voor de gevraagde oppervlakte. Bijvoorbeeld de meest eenvoudige situatie dat punt Q = Q′ in de oorsprong ligt, punt P′ op (-s,0) en punt R′ op (s,0). Dan geldt heel eenvoudig: △PQR = 0,5 x 2s x s^2 = s^3. Idem voor de situatie dat P = P’ in de oorsprong ligt (dan twee driehoeken te construeren met hoogte s en basis verschil tussen y-coördinaten van Q en de rechte door P en R op x-coördinaat Q’, dus s), ook dan is de oplossing s^3.
De vraag is dus; klopt het dat ik deze vraag heel eenvoudig kan reduceren tot het bovenstaande omdat wat geldt voor één situatie voor alle situaties moet gelden, conform de vraagstelling?

[Xilvo]

Als ik je goed begrijp, je kunt volstaan met één situatie, maar alleen indien je ook bewezen hebt dat er maar één universele functie van s voor de oppervlakte van △PQR bestaat.

[PhilipVoets]

Dat is vanzelfsprekend, maar uitgaand van de situatie dat er sprake is van slechts één uitdrukking voor de oppervlakte van deze driehoek in s, dan zou dus het bewijzen van één specifiek (handig gekozen) geval gegeneraliseerd kunnen worden, toch?

[Xilvo]

Als er maar één uitdrukking is die (bewezen) altijd dezelfde waarde oplevert, dan ja.

[PhilipVoets]

Ik zit me overigens af te vragen of je überhaupt twee verschillende vergelijkingen die niet tot elkaar te reduceren zijn kunt hebben met één parameter voor één driehoekdefinitie? Komen die niet altijd op hetzelfde neer?

[Bart23]

Als f en g 2 functies zijn die voor elke waarde van s dezelfde uitkomst geven (de oppervlakte), dan zijn het per definitie dezelfde functies op het betreffende domein (de strikt positieve reële getallen). Je zou de voorschriften van f en g dan ook tot elkaar moeten kunnen 'reduceren'. Wat betekent 'reduceren' eigenlijk? Is dat niet gewoon een herformulering van "gelijk zijn"?
Anderzijds lijkt me het bewijzen dat er een 'universele functie van s' bestaat (dus onafhankelijk van de x-coördinaat van, zeg, het middelste punt) doorgaans evenveel werk dan het gewoon uitrekenen van het voorschrift van die functie en dan zien dat die functie blijkbaar alleen van s afhangt. Tenzij er natuurlijk een duidelijke translatie-invariantie inzit, maar die zie ik in dit voorbeeld toch niet direct.
Zeker in dit voorbeeld is de rechtstreekse weg erg kort (ik denk dat ik het in 2 à 3 stappen voor de bakker krijg met de betere middelbareschoolwiskunde).

[tempelier]

De keuze s is wel wat ongelukkig.
Daar deze ook staat voor de halve omtrek van de cirkel.

[PhilipVoets]

Voor alle duidelijkheid, de opgave is prima op te lossen (zie mijn algemene uitwerking), die komt neer op: oppervlakte = s^3, maar mijn vraag was of je het jezelf ook makkelijk had mogen maken op de beschreven manier (dus een handig gekozen voorbeeld uitwerken en generaliseren, omdat wat voor één geconstrueerde driehoek PQR geldt dan voor alle driehoeken PQR moet gelden); de vraag is dus naar de generaliseerbaarheid, niet naar de oplossing van de opgave op zich, die is niet zo ingewikkeld.

[wnvl1]

maar mijn vraag was of je het jezelf ook makkelijk had mogen maken op de beschreven manier (dus een handig gekozen voorbeeld uitwerken en generaliseren, omdat wat voor één geconstrueerde driehoek PQR geldt dan voor alle driehoeken PQR moet gelden)

Ik denk van wel, ja.

[PhilipVoets]

Thanks!