Bewijs product oneven getallen, n^n

[PhilipVoets]

Bewijs dat (2n - 1)! < n^n voor alle n >1.

Mijn redenering was als volgt: als breuk geschreven staat er:
1 * 3 * 5 * ... * (2n - 1)/(n * n * n * ... * n)

Voor (2n - 1)! geldt voor de sommen van eerste en laatste term, tweede en één na laatste term, derde en op twee na laatste term, etc.: 2n - 1 + 1 = 2n, 2(n - 1) - 1 + 3 = 2n, 2(n - 2) - 1 + 5 = 2n, etc. en voor n^n geldt (op dezelfde manier): n + n = 2n, n + n = 2n, n + n = 2n, etc.
De maximale waarde van een product p * q, waarbij geldt p + q = 2n (zoals hierboven) wordt bereikt als p = q = n (immers, dat volgt uit eerste afgeleide: [x * (2n - x)]' = 0), dus zal altijd gelden: n^2 in de noemer > product van eerste en laatste term uit teller, tweede en één na laatste term uit teller, derde en twee na laatste term, etc. (bij een oneven n zullen de middelste termen in de breuk tegen elkaar wegvallen).

Klopt dit (het zal vast handiger opgeschreven kunnen worden, maar dat terzijde)?
Dank!

[Bart23]

Je hebt (2n-1)! verkeerd begrepen. De even factoren moeten er ook nog bij.
Ten tweede zijn het geen sommen, maar producten.

Bart

[Xilvo]

\(n=3\)
\((2n-1)!=5!=120\)
\(n^n=27\)
De stelling klopt niet.

[Xilvo]

Het omgekeerde is wel makkelijk te bewijzen.

\(\displaystyle (2n-1)!=(n-1)! \prod_{x=n}^{2n-1} x\)
Het deel
\(\displaystyle \prod_{x=n}^{2n-1} x\)
is het product van n getallen, alle groter of gelijk n
Dat is dan groter dan \(n^n\), het product van n getallen maar allemaal n.

[PhilipVoets]

Laat ik het herschrijven, ik heb ten onrechte die faculteit geïntroduceerd, sorry voor de verwarring, de opgave stelt: bewijs dat 1 * 3 * 5 * … * (2n - 1) > n^n voor n >1 (excuses voor de verwarring, moet het dan n!! zijn wat ik bedoelde?)

En ja, ik weet dat het gaat over producten en niet over sommen, maar ik denk dat mijn redenering wel klopt. Wat ik (op een wat onhandige manier) probeerde te noteren, is in voorbeeldvorm het volgende:

Stel dat n = 5 dan moet zou moeten gelden:
1 * 3 * 5 * 7 * 9/(5 * 5 * 5 * 5 * 5)
Laat de middelste twee vijven tegen elkaar wegvallen (n is hier oneven), dan houd je over:
1 * 3 * 7 * 9/(5 * 5 * 5 * 5)
Vervolgens geldt dat 5*5 > 1*9 (product van buitenste twee termen teller) en 5*5 > 3*7 (product van binnenste twee termen teller), dus voor dit geval geldt noemer > teller. Deze redenering kun je voor iedere breuk ophangen omdat in de teller het product van de buitenste twee termen, het product van de tweede en een na laatste term, en zo verder naar binnen altijd kleiner zal zijn dan n*n (gevisualiseerd; als je van een bepaalde hoeveelheid materiaal een rechthoek met maximale oppervlakte moet maken kom je uit op een vierkant; alle geconstrueerde andere rechthoeken zullen kleiner zijn, lees: alle producten van twee termen in de teller van buiten naar binnen zullen kleiner zijn dan de kwadraten in de noemer), voor n = 8 geldt dan bijvoorbeeld: 8*8 > 15 *1, 13*3, 11*5 en 9*7

[Xilvo]

Laat ik het herschrijven, ik heb ten onrechte die faculteit geïntroduceerd, sorry voor de verwarring, de opgave stelt: bewijs dat 1 * 3 * 5 * … * (2n - 1) > n^n voor n >1 (excuses voor de verwarring, moet het dan n!! zijn wat ik bedoelde?)

De kortste notatie zal
\(\displaystyle \prod_{x=1}^{n} 2x-1\)
zijn.

Laat ik het herschrijven, ik heb ten onrechte die faculteit geïntroduceerd, sorry voor de verwarring, de opgave stelt: bewijs dat 1 * 3 * 5 * … * (2n - 1) > n^n voor n >1 (excuses voor de verwarring, moet het dan n!! zijn wat ik bedoelde?)

En ja, ik weet dat het gaat over producten en niet over sommen, maar ik denk dat mijn redenering wel klopt. Wat ik (op een wat onhandige manier) probeerde te noteren, is in voorbeeldvorm het volgende:

Stel dat n = 5 dan moet zou moeten gelden:
1 * 3 * 5 * 7 * 9/(5 * 5 * 5 * 5 * 5)
Laat de middelste twee vijven tegen elkaar wegvallen (n is hier oneven), dan houd je over:
1 * 3 * 7 * 9/(5 * 5 * 5 * 5)
Vervolgens geldt dat 5*5 > 1*9 (product van buitenste twee termen teller) en 5*5 > 3*7 (product van binnenste twee termen teller), dus voor dit geval geldt noemer > teller.

Klopt helemaal.

[PhilipVoets]

Dank! Ik ben als relatieve leek/niet-wis- of natuurkundige soms slordig in mijn notering omdat ik niet altijd op de hoogte van de juiste terminologie/symbolen ben, maar het gaat gelukkig om de redenering
Ik weet niet of een van de moderators de titel van topic even kan aanpassen naar “Bewijs” of zo om verwarring te voorkomen (en de faculteit uit mijn eerste post kan schrappen)

[Xilvo]

Ik weet niet of een van de moderators de titel van topic even kan aanpassen naar “Bewijs”

Gebeurd.

en de faculteit uit mijn eerste post kan schrappen

Dan wordt het bericht onbegrijpelijk vrees ik. Iedereen vergist zich wel eens.

[PhilipVoets]

Thanks!