n! als een som van termen

[Regor]

Is er een algemene formule voor elk natuurlijk getal n! uitgedrukt in een bepaald aantal termen, namelijk (n+1) termen, gebruik makende van willekeurige (n+1) dalende gehele getallen in de macht n

vb: voor n = 3

3! = 1(4)^3 - 3 (3)^3 + 3(2)^3 - 1(1)^3

maar ook

3! = 1(5)^3 - 3(4)^3 + 3(3)^3 - 1(2)^3

De cijfers / getallen voor de haakjes zijn specifiek voor een bepaalde macht n
Natuurlijk is n! gemakkelijker uit te rekenen als produkt.

[Regor]

Wat ik bedoel ...in oude notatie....... inclusief de verschuiving van "upper" en "lower" indices.

0 1 2
n! = C (n+1)^n - C (n-1)^n + C (n-2)^n .................. (n+1) termen
n n n

maar ook:

0 1 2
n! = C (a)^n. - C (a-1)^n + C (a-2) ^n .....................(n+1) termen
n n n

Voor eender welke gehele waarden van a

Klopt deze formule ?
Zo ja, hoe ziet ze eruit in moderne Latex notatie ?

[RedCat]

Klopt, zie https://arxiv.org/pdf/math/0406086:

\(\displaystyle \sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}(x-i)^n = n!\)

Jouw voorbeeld met \(x=5\) en \(n=3\):

\(\displaystyle \sum_{i=0}^3(-1)^i\binom{3}{i}(5-i)^3 \)

\( = \binom{3}{0}(5-0)^3 -\binom{3}{1}(5-1)^3+\binom{3}{2}(5-2)^3 - \binom{3}{3}(5-3)^3\)

\(= 1\cdot 5^3 - 3\cdot 4^3 + 3\cdot 3^3 - 1\cdot 2^3 = 6 = 3!\)


PS: handig om jezelf de LaTeX-codes eigen te maken:
Als je de rechter muis boven op een LaTeX code klikt, dan verschijnt een pop-up met optie "Wiskunde weergeven als".
Als je vervolgens in het submenu daarvan klikt op Tex-commando's zie je de codes van de betreffende formule.

[Regor]

Ben bijna 74 jaar, Latex zal moeilijk worden.

Wat eigenaardig is, is dat in mijn twee voorbeelden de binominaal coëfficiënten gelijk blijven ...... maar met 4 opeenvolgende andere waarden tussen haakjes.
De waarden 4 en 3 en 2 en 1 werken, maar ook de waarden 5 en 4 en 3 en 2 ........ en nog willekeurig veel 4 (in het geval van macht n = 3) opeenvolgende waarden.
Hoe is dat te verklaren?

In uw formule variëren de binominaal coëfficiënten mee, in mijn voorbeeld niet.

[Xilvo]

Ben bijna 74 jaar, Latex zal moeilijk worden.

Ik heb het ook geleerd, een paar jaar geleden. Zo moeilijk is het niet.
En gebruik anders tenminste "code", zodat de spaties intact blijven.

[Regor]

Xilvo, juist.
Toch graag bijkomend inzicht over mijn bemerking in verband met de formule.