PuzzelsVan een beginner voor een gevorderde of een deskundige.
In vroegere topics kwamen "rolkrommen" aan bod.
In hoofdzaak de 2D ""gegenereerde kromme die ontstond bij het rollen van een 2D "genererende kromme" op een rechte lijn.
Zoals de cycloide die ontstaat als meetkundige plaats van een punt op een cirkel bij het rollen op een rechte lijn.
Als de wiskundige formule van de genererende kromme gekend is lijkt het mij vrij begrijpelijk hoe men te werk gaat om de wiskundige formule van de gegenereerde kromme te bepalen.
Maar hoe gaat men omgekeerd te werk om van de wiskundige formule van de gegenereerde kromme ..... de wiskundige formule van de genererende kromme te bepalen ?
Wat is de algemene voorwaarde voor het vinden van de oplossing, dus niet bij één voorbeeld, maar in het algemeen, of is dat onmogelijk ?
Een voorbeeld is .. welk is de wiskundige formule van de kromme ... die een halve sinusoide oplevert bij het rollen op een lijn ?
Een ander voorbeeld is ....welke rolkromme een halve ellips oplevert ?
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
ads
Re: (B) Hoe bepaald men de inverse van een rolkromme ?
De toe te passen methode die leidt tot het bepalen van de kromme die een halve ellips genereert zou mij al plezieren.
Re: (B) Hoe bepaald men de inverse van een rolkromme ?
Ik verwacht dat de genererende curve van een halve ellips iets zal zijn in de vorm van de blauwe gesloten curve in bovenstaand plaatje.
Het is het halve lemniscaat van Bernoulli (= de helft van het oneindig-symbool \(\infty\) ).
De polaire vergelijking van de linker blauwe curve is:
\(r(\theta) = \sqrt{\sin(2\theta)}\)
voor \(0 \le \theta < \frac{1}{2}\pi\)
In rood de gegenereerde curve.
Het trace-punt (= het punt op de blauwe curve waar de rode curve getekend wordt) = het hoekpunt van de blauwe curve.
De halve korte as b van de ellips = de grootste hoogte van de blauwe curve tijdens het rollen (= middelste blauwe curve).
De omtrek van de curve = de lange as van de ellips (= twee keer de halve lange as a).
In zwart de ellips die voldoet aan deze twee waarden.
De rode curve wijkt nog wat af van de zwarte ellips, dus moet de blauwe curve nog aangepast worden.
Of en hoe dit zal lukken is voor later: er zit nog flink wat theorie achter, zie bijvoorbeeld
https://en.wikipedia.org/wiki/Lemniscat ... _functions
Re: (B) Hoe bepaald men de inverse van een rolkromme ?
@RedCat,
Dank U,
Er is vroeger ooit nog een topic gemaakt over rolkrommmen en inversen.
Er werd er ondermeer verwezen naar een mooie site daarover, verdorie niog niet gevonden.
Zal het eens proberen opzoeken (terugzoeken naar en binnen oude topics is niet gemakkelijk) .
U begrijpt met zekerheid dat er wellicht een wiskundig mechanisme / uitdrukking / voorwaarde moet zijn die vanaf het nulpunt de relatie tussen de bestaande (gegenereerde) en de gezochte (genererende) kromme vastlegt.
(Voor mij zoiets als "de / een heilige graal").
Dank U,
Er is vroeger ooit nog een topic gemaakt over rolkrommmen en inversen.
Er werd er ondermeer verwezen naar een mooie site daarover, verdorie niog niet gevonden.
Zal het eens proberen opzoeken (terugzoeken naar en binnen oude topics is niet gemakkelijk) .
U begrijpt met zekerheid dat er wellicht een wiskundig mechanisme / uitdrukking / voorwaarde moet zijn die vanaf het nulpunt de relatie tussen de bestaande (gegenereerde) en de gezochte (genererende) kromme vastlegt.
(Voor mij zoiets als "de / een heilige graal").
Re: (B) Hoe bepaald men de inverse van een rolkromme ?
@Redcat,
Ondertussen veel gevonden over krommen en rolkrommen en hun wiskundige uitdrukking.
Ondermeer de genererende kromme voor een halve cirkel: "Ribaucour curve met k = 1/2 en n = oneindig.
Maar helaas niets voor een halve ellips.
Wat mij wiskundig het meest boeit wat betreft generende krommen.
Is het niet mogelijk om een wiskundige voorwaarde te formuleren voor het vinden van een genererende krommen vb voor een halve ellips.
Startende in de oorsprong van het orthogonaal assenstelsel en uitdrukken dat de afstand van het raakpunt met de x as van de genererende naar het gegenereerde punt P de afstand is van de oorsprong tot het raakpunt (identiek aan de omtrek - afstand van de generende kromme tot het punt P van de gegenereerde kromme.
Als U niet begrijpt wat ik bedoel, dan ligt het aan mij hoor .
Misschien beter de genererende kromme de "te zoeken kromme" en de gegenereerde kromme de " de bekende kromme" noemen.
Bent U al iets dichter bij een oplossing gekomen ?
Ondertussen veel gevonden over krommen en rolkrommen en hun wiskundige uitdrukking.
Ondermeer de genererende kromme voor een halve cirkel: "Ribaucour curve met k = 1/2 en n = oneindig.
Maar helaas niets voor een halve ellips.
Wat mij wiskundig het meest boeit wat betreft generende krommen.
Is het niet mogelijk om een wiskundige voorwaarde te formuleren voor het vinden van een genererende krommen vb voor een halve ellips.
Startende in de oorsprong van het orthogonaal assenstelsel en uitdrukken dat de afstand van het raakpunt met de x as van de genererende naar het gegenereerde punt P de afstand is van de oorsprong tot het raakpunt (identiek aan de omtrek - afstand van de generende kromme tot het punt P van de gegenereerde kromme.
Als U niet begrijpt wat ik bedoel, dan ligt het aan mij hoor .
Misschien beter de genererende kromme de "te zoeken kromme" en de gegenereerde kromme de " de bekende kromme" noemen.
Bent U al iets dichter bij een oplossing gekomen ?
Re: (B) Hoe bepaald men de inverse van een rolkromme ?
@Alle wiskundigen en meetkundigen.
Sorry, maar het onderwerp laat mij niet los.
Misschien is mijn vraag onduidelijk.
Nog even eenvoudig omschrijven met een voorbeeld.
Een Cycloide wordt gevormd door een punt op een rollende cirkel over een rechte lijn.
Het startpunt is het raakpunt van de cirkel met de rechte lijn.
Een halve ellips kan ook gevormd worden door een punt op een 2D kromme die rolt over een rechte lijn.
Het startpunt is een welbepaald raakpunt van de 2D kromme met de rechte lijn.
De Lemniscaat van Bernoulli komt als 2D kromme aardig in de buurt als oplossing.
De vraag is als er een wiskundige methode / mechanisme bestaat die leidt tot de exacte 2D kromme ?
Het lijkt mij een soort "reverse engineering" probleem .... die misschien geen specifieke oplossing heeft, en ook niet algemeen kan toegepast worden.
Ben uitermate benieuwd.
Sorry, maar het onderwerp laat mij niet los.
Misschien is mijn vraag onduidelijk.
Nog even eenvoudig omschrijven met een voorbeeld.
Een Cycloide wordt gevormd door een punt op een rollende cirkel over een rechte lijn.
Het startpunt is het raakpunt van de cirkel met de rechte lijn.
Een halve ellips kan ook gevormd worden door een punt op een 2D kromme die rolt over een rechte lijn.
Het startpunt is een welbepaald raakpunt van de 2D kromme met de rechte lijn.
De Lemniscaat van Bernoulli komt als 2D kromme aardig in de buurt als oplossing.
De vraag is als er een wiskundige methode / mechanisme bestaat die leidt tot de exacte 2D kromme ?
Het lijkt mij een soort "reverse engineering" probleem .... die misschien geen specifieke oplossing heeft, en ook niet algemeen kan toegepast worden.
Ben uitermate benieuwd.
Re: (B) Hoe bepaald men de inverse van een rolkromme ?
Kun je niet terug naar de basis? als je snapt hoe die rolkromme ontstaat (= lengte van een stukje rollend voorwerp afbeelden op de x-as en dan het voorwerp tegelijkertijd roteren volgens de kromtecirkel in het raakpunt denk ik) snap je misschien ook hoe je omgekeerd de vorm van het rollende voorwerp kunt construeren.
Re: (B) Hoe bepaald men de inverse van een rolkromme ?
@HansH,
Ja hoor, ik snap het één en het ander.
Maar druk dat maar eens wiskundig uit !!! ...... gegeven zij de wiskundige uitdrukking van de ontstane kromme.
Reverse engineering / wiskunde toepassen om tot de wiskundige uitdrukking te komen (als meetkundige plaats) van het rollend voorwerp.
Dat lijkt mij een heel behoorlijke wiskundig uitdaging.
Ja hoor, ik snap het één en het ander.
Maar druk dat maar eens wiskundig uit !!! ...... gegeven zij de wiskundige uitdrukking van de ontstane kromme.
Reverse engineering / wiskunde toepassen om tot de wiskundige uitdrukking te komen (als meetkundige plaats) van het rollend voorwerp.
Dat lijkt mij een heel behoorlijke wiskundig uitdaging.
Re: (B) Hoe bepaald men de inverse van een rolkromme ?
@HansH,
Neem maar eens het "eenvoudige" voorbeeld van welke rolvorm een halve cirkel genereert.
Noot: Ribaucourt curves
Neem maar eens het "eenvoudige" voorbeeld van welke rolvorm een halve cirkel genereert.
Noot: Ribaucourt curves
Re: (B) Hoe bepaald men de inverse van een rolkromme ?
@HansH,
Ah zo, U vind het simpel !
U kan mij niet met een kluitje in het riet sturen hoor ....... helaas !
Denk maar niet dat ik er nog niet dieper over nadacht... zonder resultaat.
De formule van de kromme die een rollende kromme beschrijft is al moeilijk genoeg ..... het omgekeerde extreem moeilijk!
Ik denk dat U niet goed begrijpt / bewust bent hoe ingewikkeld / moeilijk een oplossing formule - matig is.
Geef maar eens de formule(s) voor het bepalen van de formule van de kromme die een halve cirkel genereert !
U krijgt willekeurig veel tijd ....... om uiteindelijk te schrijven dat U er niet in slaagt.. denk ik.
Succes.
Ah zo, U vind het simpel !
U kan mij niet met een kluitje in het riet sturen hoor ....... helaas !
Denk maar niet dat ik er nog niet dieper over nadacht... zonder resultaat.
De formule van de kromme die een rollende kromme beschrijft is al moeilijk genoeg ..... het omgekeerde extreem moeilijk!
Ik denk dat U niet goed begrijpt / bewust bent hoe ingewikkeld / moeilijk een oplossing formule - matig is.
Geef maar eens de formule(s) voor het bepalen van de formule van de kromme die een halve cirkel genereert !
U krijgt willekeurig veel tijd ....... om uiteindelijk te schrijven dat U er niet in slaagt.. denk ik.
Succes.
Re: (B) Hoe bepaald men de inverse van een rolkromme ?
dan heb je inderdaad wel de simpelste: dat is gewoon een lijn. die blijft aan een kant op zijn plek en vormt bij rollen aan de andere kant een halve cirkel
Re: (B) Hoe bepaald men de inverse van een rolkromme ?
maar je zou eens kunnen beginnen om ipv de formule eens te kijken of je numeriek in ieder geval de vorm terug kunt reconstrueren.
Re: (B) Hoe bepaald men de inverse van een rolkromme ?
Ik heb wat zitten spelen met powerpoint om de rolkromme te bepalen van een veelhoek.
en omgekeerd hoe je uit die curve dan weer de originele veelhoek kan reconstrueren. steeds herhalen;
-rollen over een stukje dl
-vorm roteren over dΦ/dl *dl
-verbindingslijn trekken over het pad van het punt op de vorm wat je wilt volgen
je krijgt dan de rolcurve bestaande uit een serie gelijkzijdige driehoeken.
omgekeerd:
-begin bij de laatste driehoek en roteer die om het laatste punt totdat de rechterzijde geroteerd de linkerzijde oplevert.
-die geroteerde driehoek koppel je dan aan de driehoek ervoor en het geheel roteer je dan weer op dezelfde manier
-dat herhaal je tot je weer bij de eerste driehoek bent en dan heb je je vorm gereconstrueerd.
het is dus een kwestie van je rolkromme opsplitsen en discrete stukjes en dan deze procedure herhalen waarbij de dan in de limiet de lengte van de discrete stukjes naar 0 laat gaan.
of je daar dan een vergelijking van die kromme uit kunt afleiden is dan nog een extra stap tov uberhaupt de kromme reconstrueren.
en omgekeerd hoe je uit die curve dan weer de originele veelhoek kan reconstrueren. steeds herhalen;
-rollen over een stukje dl
-vorm roteren over dΦ/dl *dl
-verbindingslijn trekken over het pad van het punt op de vorm wat je wilt volgen
je krijgt dan de rolcurve bestaande uit een serie gelijkzijdige driehoeken.
omgekeerd:
-begin bij de laatste driehoek en roteer die om het laatste punt totdat de rechterzijde geroteerd de linkerzijde oplevert.
-die geroteerde driehoek koppel je dan aan de driehoek ervoor en het geheel roteer je dan weer op dezelfde manier
-dat herhaal je tot je weer bij de eerste driehoek bent en dan heb je je vorm gereconstrueerd.
het is dus een kwestie van je rolkromme opsplitsen en discrete stukjes en dan deze procedure herhalen waarbij de dan in de limiet de lengte van de discrete stukjes naar 0 laat gaan.
of je daar dan een vergelijking van die kromme uit kunt afleiden is dan nog een extra stap tov uberhaupt de kromme reconstrueren.
ads
