[wiskunde] inhoud en oppervlakte bol

[Comm]

Kan iemand mij vertellen hoe de formules voor de inhoud en de oppervlakte van een bol zijn ontstaan. Ik weet wel hoe ik het toe moet passen maar wil graag weten waar het vandaan komt?

[TD]

Je kan ze beide bepalen door middel van integratie, maar de \(\pi\) die erin verschijnt is gewoon per definitie de verhouding van de omtrek van een cirkel tot zijn diameter (al is een definitie via de oppervlakte van de cirkel of via de inhoud van de bol natuurlijk ook mogelijk).

[Bert F]

Dus er was waarschijnelijk eerst integratie leer (of zoiets) die pi heeft oneindig veel cijfers achter de komma hoe komen ze dan hier aan?

[TD]

Nee, er was veel eerder een notie van pi voordat de integraalrekening fatsoenlijk was uitgewerkt.

[PeterPan]

Het is eigenlijk heel simpel Niks integratierekening of andere moeilijkdoenerij.

Eerst was er de cirkel als object van studie.

Je weet dat als je een driehoek of een vierkant opblaast (onder een vergrootglas legt) de oppervlakte kwadratisch toeneemt. In wiskundige woorden: als je een driehoek(vierkant, of een andere ingesloten figuur) met k vermenigvuldigt, dan wordt de oppervlakte k² keer zo groot.

Dat geldt dus ook voor een cirkel.

Als een cirkel met straal 1 een oppervlakte X heeft, dan heeft een cirkel met straat r (vermenigvuldiging met r) oppervlakte Xr².

Wat is X. Al honderden jaren geleden heeft met X proberen te meten.

Ze vonden 3. Andere maten nauwkeuriger en vonden 3,1

of 3,14. Nu kunnen we nog veel nauwkeuriger meten en Euler bedacht voor X het symbool . .

De bol. 3-dimensionaal. Dus inhoud bol met straal r is r³ maal de inhoud van een bol met straal 1. (analoog aan het verhaal over de cirkel).

Dus inhoud bol met straal r is Yr³.

Bij nauwkeurig meten ondekte Archimedes dat 3.Y = 4.X. Hij was zelfs in staat dat aan te tonen door in de bol (cirkel) kleine vierkantjes (kubusjes) te leggen.

Tegenwoordig kunnen we dat met integratierekening ook echt hard bewijzen.